Normalisator

Normalisator är ett begrepp inom gruppteorin. Om S är en mängd i gruppen G, så är normalisatorn för S:

$\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid Sg=gS\}.$

Egenskaper

• Normalisatorn är en delgrupp i G.
• Om elementet g i G tillhör Z(G), så är N_G(g) = G.
• Om H är en delgrupp i G, så är N_G(H) den största delgrupp i G, i vilken H är en normal delgrupp. Härav följer att H är normaldelare av G om N_G(H) = G.

Exempel

Betrakta gruppen D₄ = {I, φ, ψ, ψ², ψ³,φψ², φψ, ψφ}, som avbildar en kvadrat på sig själv och är en delgrupp till S₄, där I är den identiska avbildningen, φ är en spegling i den vertikala axeln och ψ är en vridning 90 grader.

Z(D₄) = {I, ψ²)}. Alltså är normalisatorn N_G(Z(D₄)) = D₄.

Om H = {I, φ} är normalisatorn N_G(H) = {I, φ, ψ², φψ²}. H är således inte en normal delgrupp i D₄.

Om H = {I, ψ, ψ², ψ³} är normalisatorn N_G(H) = D₄ och H är alltså normaldelare till D₄.

Källor

• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.
• J.B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.