Potensmängd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Elementen av potensmängden {x, y, z} ordnade efter inklusivitet

Potensmängden (power set på engelska) till en mängd M är mängden av alla delmängder till M inkluderande den tomma mängden och mängden M själv. Potensmängden till M skrivs \mathcal{P}(M) eller P(M).

Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Om S är mängden {x, y, z}, är delmängderna av S

  • {} (också betecknad \emptyset, tomma mängden)
  • {x}
  • {y}
  • {z}
  • {x, y}
  • {x, z}
  • {y, z}
  • {x, y, z}

och potensmängden av S = \left\{x, y, z\right\} är

\mathcal{P}(S) = \left\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\right\}\,\!

I exemplet startade vi med en mängd med 3 element och såg att potensmängden innehöll fler element, nämligen 8. Detta är inget unikt för denna mängd. Alla mängder, ändliga såväl som oändliga, har fler delmängder än de har element. Om vi alltså startar med en oändlig mängd och bildar potensmängden av den så får vi en ännu större mängd, det vill säga en ännu större oändlighet! Sedan kan vi fortsätta och bilda potensmängden av potensmängden och så vidare och hela tiden få allt större oändligheter. Det finns alltså obegränsat många storlekar på oändligheter. Se artiklarna kardinaltal och Cantors sats för vidare beskrivning av detta.

Se även[redigera | redigera wikitext]