Primtalsfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Primtalsfunktionen är en viktig funktion inom talteori som definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som x. Den betecknas med \scriptstyle\pi(x).

Historia[redigera | redigera wikitext]

På 1700-talet upptäckte Gauss och Legendre att

 x/\operatorname{ln}(x)\!

är en bra approximation för primtalsfunktionen; mer specifikt,

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!


Det här är känt som primtalssatsen; den bevisades i slutet av 1800-talet. Feltermen i approximationen har undersökts mycket: ett starkt resultat säger att

\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1.\!

Tabell av π(x), x / ln x och li(x)[redigera | redigera wikitext]

Tabellen visar de tre funktionerna π(x), x / ln x och li(x) vid potenser av 10. Se även [1][2][3] och.[4]

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1,229 143 17 8.137
105 9,592 906 38 10.425
106 78,498 6,116 130 12.740
107 664,579 44,158 339 15.047
108 5,761,455 332,774 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546
Grafen visar kvoten av primtalsfunktionen π(x) med dess två approximationer x/ln x och Li(x). Då x växer (notera att x-axeln är logaritmisk) närmar sig båda kvoten 1. Kvoten x/ln x konvergerar ovanifrån väldigt långsamt, medan kvoten för Li(x) konvergerar snabbare nedanifrån.

I Nätuppslagsverket över heltalsföljder är π(x) följden OEISA006880, π(x) - x / ln x är följden OEISA057835 och li(x) − π(x) är följdenOEISA057752. Värdet på π(1024) räknades ursprungligen av J. Buethe, J. Franke, A. Jost och T. Kleinjung under antagandet av Riemannhypotesen.[5] Den har sedan dess kontrollerats oberoende av Riemannhypotesen av D. J. Platt.[6]

Olikheter[redigera | redigera wikitext]

 
\frac {x} {\ln x} < \pi(x) < 1.25506  \frac {x} {\ln x}
\! för x ≥ 17.

Olikheten till vänster gäller för x ≥ 17 och olikheten till höger för x > 1.

 
n (\ln (n \ln n) - 1) < p_n < n {\ln (n \ln n)}
\! för n ≥ 6.
 \forall x\ge55,\quad
\frac {x} {\ln x + 2} < \pi(x) <  \frac {x} {\ln x - 4}

En olikhet av Pierre Dusart är

  \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right) < \pi(x) < \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.51}{(\ln x)^2}\right).

Första olikheten gäller för alla x ≥ 599 och andra för alla x ≥ 355991.

Littlewoods sats[redigera | redigera wikitext]

1914 bevisade John Littlewood att det finns godtyckligt stora värden på x för vilka

\pi(x)>\operatorname{Li}(x) +\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x

och godtyckligt stora värden på x för vilka

\pi(x)<\operatorname{Li}(x) -\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x.

Av det följer att differensen π(x) − Li(x) byter tecken oändligt ofta.

Riemannhypotesen[redigera | redigera wikitext]

Riemannhypotesen är ekvivalent till att

\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime-counting function, 14 november 2013.


  1. ^ Referensfel: Ogiltig <ref>-tagg; ingen text har angivits för referensen med namnet Caldwell
  2. ^ ”Tables of values of pi(x) and of pi2(x)”. Tomás Oliveira e Silva. http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html. Läst 2008-09-14. 
  3. ^ ”Values of π(x) and Δ(x) for various x's”. Andrey V. Kulsha. http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html. Läst 2008-09-14. 
  4. ^ ”A table of values of pi(x)”. Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html. Läst 2008-09-14. 
  5. ^ ”Conditional Calculation of pi(1024)”. Chris K. Caldwell. http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html. Läst 2010-08-03. 
  6. ^ ”Computing π(x) Analytically)”. http://arxiv.org/abs/1203.5712. Läst Jul 25, 2012.