Primtal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
11 är ett primtal, men inte 12.

Ett primtal är ett heltal p, som är större än 1 och som bara är delbart med ±1 och ±p.

Den grekiske matematikern Euklides visade på 300-talet f.Kr., med Euklides sats, att det finns ett oändligt antal primtal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Exempelvis är 7, 29 och 127 primtal, det sistnämnda av typen Mersenneprimtal. Däremot är inte 45 = 3 · 3 · 5, 91 = 7 · 13 och 2047 = 23 · 89 primtal. Det sistnämnda är ett Mersennetal, men inte ett Mersenneprimtal.

Det förekommer att två på varandra följande udda tal är primtal, exempelvis 11 och 13, 1949 och 1951. Dessa kallas primtalstvillingar. Huruvida mängden primtalstvillingar är ändlig är inte känt. De enda primtalstrillingarna är 3, 5 och 7 och primtalsfyrlingar eller större förekommer inte. Primtalen och deras fördelning är ett område som alltid intresserat matematiker. Primtal är av stor betydelse inom talteori.

De primtal som är mindre än 100 är (talföljd A000040 i OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97[1]

Förutom primtalet 2 är alla andra primtal udda tal (eftersom de inte ska vara delbara med 2 vilket alla jämna heltal är).

Tvåkvadratsteoremet[redigera | redigera wikitext]

Primtalen kan, om primtalet 2 utelämnas, delas upp i två klasser: de som kan skrivas på formen 4n + 1 och de som kan skrivas på formen 4n + 3. De förstnämnda är 5, 13, 17, 29, 37, … och de senare är 3, 7, 11, 19, 23, …. Alla primtal i den förra klassen, men inget i den senare kan uttryckas som summan av två heltalskvadrater.

Sambandet upptäcktes av Fermat, som nämnde det i ett brev till matematikern Mersenne 1640. Tvåkvadratsteoremet[2] har av den engelske matematikern Hardy klassats som ett av matematikens vackraste och kan formuleras som:

Det udda primtalet p kan skrivas p = x2 + y2 där x och y är heltal, om och endast om p = 4n + 1. Exempel:

5 = 1^2 + 2^2, \quad  13 = 2^2 + 3^2, \quad  61 = 5^2 + 6^2, \quad  97 = 4^2 + 9^2, \quad 641 = 4^2 + 25^2, \quad 1949 = 10^2 + 43^2.

Primtalsbestämning[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Primtalstest

En primitiv metod för att avgöra om ett givet tal n är ett primtal, är att dividera detta med alla naturliga tal, från 2 till och med det som är närmast mindre än eller lika med √n. Om därvid någon divisionsrest blir noll, är det givna talet ej ett primtal och processen kan avbrytas.

En något effektivare metod, som bygger på att man har tillgång till en primtalslista upp till √n, är att dela det givna talet n med alla primtal från 2 till och med det primtal, som är mindre än eller lika med √n.

Om n inte är ett primtal kan det skrivas som produkten av två tal, vilka ej båda kan vara större än √n

n=a\cdot b \quad \Rightarrow \quad a \leq \sqrt{n} \quad \mathrm{eller} \quad b \leq \sqrt{n}

Exempel: 103[redigera | redigera wikitext]

För att undersöka om ett tal är ett primtal räcker det således att pröva med alla primtal som är mindre än kvadratroten ur talet. Kvadratroten ur 103 är cirka 10 (10,14889157...) varför det räcker med att testa om 103 är delbart med något av talen 2, 3, 5 eller 7:

  • Talet är udda och är därmed inte delbart med 2.
  • Talets siffersumma (1+0+3) är inte delbar med 3, då är talet inte heller delbart med 3.
  • Talet slutar inte på 0 eller 5 och är därför inte delbart med 5.
  • Talet är inte delbart med 7

Alltså är 103 ett primtal.

Metoden ovan är ganska effektiv för små tal, men är inte särskilt användbar inom modern kryptografi där man använder sig av primtal bestående av hundratals siffror. Med hjälp av en persondator kan man primtalstesta ett tal bestående av 100 siffror inom loppet av en sekund. Ett av många primtalstest är en algoritm kallad Eratosthenes såll, med vars hjälp man kan bestämma alla primtal som är mindre än ett önskat tal.

Effektivitet[redigera | redigera wikitext]

Den primitiva metod som beskrivits ovan är mycket ineffektiv för stora tal. Antalet bitoperationer som krävs är åtminstone c\sqrt{n} stycken, om man redan har tillgång till en primtalslista. Detta betyder att tidskomplexiteten är exponentiell.

Matematiker har länge letat efter ett effektivt primtalstest, särskilt efter ett med polynomiell tidskomplexitet. 1975 utvecklade Gary Miller en algoritm som testade om ett heltal var ett primtal med O((log n)5) bitoperationer men då antog han att den ännu obevisade Riemannhypotesen stämde. (Se även ordo.)

1983 utvecklade Leonard Adleman, Carl Pomerance och Robert Rumely en algoritm med tidskomplexitet (log n)c log log log n som inte är polynomiell tid men nästan eftersom exponentens log log log n växer så långsamt.

2002 lade den indiska professorn Manindra Agrawal och hans två doktorander Neeraj Kayal and Nitin Saxena fram AKS-agoritmen som är ett primtalstest som använder O((log n)12) bitoperationer. Deras algoritm förvånade många matematiker då ingen tidigare hittat ett test som endast krävde polynomiell tid. Om man antar en vedertagen förmodan om tätheten hos Sophie Germainprimtal så använder deras algoritm endast O((log n)6) bitoperationer.[3]

Det största kända primtalet[redigera | redigera wikitext]

Det läggs ner mycket arbete har på försöka hitta allt större primtal. Det största primtal som hittills har hittats är 243 112 609 − 1. Utskrivet med siffror (i bas 10) är talet 12 978 189 siffror långt.[4] Primtalet hittades 23 augusti 2008 inom projektet Great Internet Mersenne Prime Search av matematikinstitutionen på University of California.[5]

Det tidigare rekordet var 232 582 657 − 1, från den 4 september 2006 av Curtis Cooper och Steven Boone, som båda är professorer vid Central Missouri State University i USA. Detta tal, som är ett mersenneprimtal, innehåller 9 808 358 siffror.

Det största kända primtalet, vars antal siffror självt är ett primtal, är 27 653 · 29 167 433 + 1 som har 2 759 677 siffror, utskrivet i bas 10.

Antalet primtal[redigera | redigera wikitext]

Det finns oändligt många primtal, vilket bevisades av Euklides ca 300 f.Kr i Euklides sats.

Alternativt bevis[redigera | redigera wikitext]

Leonhard Euler och Leopold Kronecker visade år 1876 att antalet primtal är knutet till den harmoniska serien via följande samband:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \prod_{p}\frac{1}{1-\frac{1}{p}},

där produkten beräknas över samtliga primtal, hur många de nu är; kom ihåg att vi ännu inte vet att det finns oändligt många av dem.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent innebär att produkten också är divergent, vilket den endast kan vara om den består av oändligt många faktorer, vilket innebär att antalet primtal är oändligt många.

Sambandet som Euler och Kronecker fann utgör startpunkten för det område inom matematik som kallas analytisk talteori; man använder resultat från matematisk analys för att studera problem inom talteori. Detta är en oväntad koppling, eftersom talteori sysslar med heltal (diskreta objekt) och matematisk analys med reella- och komplexa tal (icke-diskreta objekt).

Olösta problem[redigera | redigera wikitext]

Det finns fortfarande många olösta gåtor angående primtalen:

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Under lång tid ansågs talteori i allmänhet och studiet av primtal i synnerhet som utmärkande för ren matematik, utan några tillämpningar utanför den egna teorin. Särskilt talteoretiker, som exempelvis G.H. Hardy, var stolta över att bedriva forskning som saknade betydelse för militären.[6] Hans visioner raserades när det offentliggjordes att primtal användes som byggstenar inom öppen-nyckel-kryptering.

Primtal används även för hashtabeller och pseudoslumptalsgeneratorer. En pseudoslumptalssekvens kan användas för utplacering av dubbar på ett dubbdäck för att undvika resonansfenomen.

Olika grupper av primtal[redigera | redigera wikitext]

Allt efter egenskaper kan primtal kategoriseras i grupper, exempelvis:

Av mer underhållande karaktär är de så kallade "James Bondprimtal", som är primtal som slutar med 007. De fyra första är 7 (007), 4007, 6007 och 9007.[7][8]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”A000040 – The prime numbers”. OEIS. http://oeis.org/classic/A000040. 
  2. ^ Godfrey Harold Hardy, En matematikers försvarstal, Gleerups, Lund 1971
  3. ^ Kenneth H. Rosen (2011) (på engelska). Elementary Number Theory and Its Applications (6). sid. 74-75. ISBN 0321717759 
  4. ^ Melin, Jan (16 september 2008). ”Nytt primtalsrekord satt i dag”. Ny Teknik. http://www.nyteknik.se/nyheter/it_telekom/allmant/article412307.ece. 
  5. ^ ”GIMPS Wins EFF $100,000 Cooperative Computing Award!”. Mersenne Prime Search. 14 oktober 2009. http://mersenne.org/prime.htm. 
  6. ^ Hardy, G.H. (1940). A Mathematician's Apology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-42706-1. "No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years".
  7. ^ Jens Ramskov, "Primtal: Fakta og Formodninger", Ingeniøren, nummer 47, 24 november 2006.
  8. ^ David Wells, Primtal – Matematikkens gådefulde tal fra A-Ø, Nyt Teknisk Forlag, ISBN 87-571-2561-9

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.