Pseudometriskt rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett pseudometriskt rum är ett par där Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): X är en mängd och Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): d är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för :

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (Konverteringsfel. Servern ("https://sv.wikipedia.org/api/rest_") rapporterade: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d(x,x)=0\,}
(symmetri)
(triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle d(x, y) = 0 } att Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x = y } , vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum och utifrån detta skapar ett nytt rum som består av alla funktioner . Om vi väljer ett speciellt element , kan vi få en pseudometrik på Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}(X) } genom:

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle d(f, g) = |f(x_0) - g(x_0)|\,} .

där .

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, genom:

Metriska rum från pseudometriska rum[redigera | redigera wikitext]

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): \sim , på X genom:

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x \sim y\,} om

och låt vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (Konverteringsfel. Servern ("https://sv.wikipedia.org/api/rest_") rapporterade: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)\,}

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (Konverteringsfel. Servern ("https://sv.wikipedia.org/api/rest_") rapporterade: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (X^{*},d^{*})} är ett metriskt rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är -rummet när Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle L^p} -normen

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \| f \|_p := \left({\int |f|^p}\right)^{1/p}}

för formar en pseudometrik

för Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (Konverteringsfel. Servern ("https://sv.wikipedia.org/api/rest_") rapporterade: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f,g\in L^{p}} . Vi definiera Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle L^p} -rummet (med samma symbol) så att det har metriken Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (Konverteringsfel. Servern ("https://sv.wikipedia.org/api/rest_") rapporterade: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d^{*}\,} för ekvivalensklasser.

Se även[redigera | redigera wikitext]