Pseudometriskt rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett pseudometriskt rum är ett par  (X, d) där  X är en mängd och  d är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för  x, y \in X :

d(x,y) \geq 0
d(x, x) = 0\,
d(x, y) = d(y, x)\, (symmetri)
d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte  d(x, y) = 0 att  x = y , vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum  X och utifrån detta skapar ett nytt rum  \mathcal{F}(X) som består av alla funktioner  f:X \to \mathbb{R} . Om vi väljer ett speciellt element  x_0 \in X , kan vi få en pseudometrik på  \mathcal{F}(X) genom:

d(f, g) = |f(x_0) - g(x_0)|\,.

där  f, g \in \mathcal{F}(X).

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, p genom:

d(x, y) = p(x-y)\,

Metriska rum från pseudometriska rum[redigera | redigera wikitext]

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, \sim, på X genom:

x \sim y\, om d(x,y)=0\,

och låt X^* vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

d^*([x],[y]) = d(x,y)\,

(X^*, d^*) är ett metriskt rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är L^p-rummet när L^p-normen

\| f \|_p := \left({\int |f|^p}\right)^{1/p}

för f \in L^p formar en pseudometrik

d(f,g) := \|f-g\|_p

för f,g \in L^p. Vi definiera L^p-rummet (med samma symbol) så att det har metriken d^*\, för ekvivalensklasser.

Se även[redigera | redigera wikitext]