Pseudometriskt rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett pseudometriskt rum är ett par där är en mängd och är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för :

(symmetri)
(triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte att , vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum och utifrån detta skapar ett nytt rum som består av alla funktioner . Om vi väljer ett speciellt element , kan vi få en pseudometrik på genom:

.

där .

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, genom:

Metriska rum från pseudometriska rum[redigera | redigera wikitext]

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, , på X genom:

om

och låt vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

är ett metriskt rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är -rummet när -normen

för formar en pseudometrik

för . Vi definiera -rummet (med samma symbol) så att det har metriken för ekvivalensklasser.

Se även[redigera | redigera wikitext]