Metriskt rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ett metriskt rum en mängd X tillsammans med en funktion d: X \times X \to \mathbb{R} sådan att följande villkor gäller för alla element x, y, zX:[1]

  1. d\left(x,y\right) = d\left(y,x\right)
  2. d\left(x,y\right) = 0 \Leftrightarrow x = y
  3. d\left(x,y\right) \le d\left(x,z\right) + d\left(z,y\right)

Funktionen betecknas vanligen d (som ovan) eller ρ, och kallas metrik, eller avståndsfunktion (och dess värde avstånd). Om ekvivalensen i andra villkoret ersätts med en vänsterimplikation får man en pseudometrik.

Genom att kombinera alla tre villkoren ser vi att alla avstånd måste vara icke-negativa, ty för alla x, yX gäller

0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y).

För punkter i \mathbb{R}^3 med den vanliga metriken är villkoren (1)-(3) uppenbara. Villkor (2) motsvarar att två punkter P och Q har avstånd 0 om och endast om P=Q. Villkor (3) är den så kallade triangelolikheten: för tre punkter P, Q och R gäller att avståndet mellan P och R är mindre eller lika med summan av avståndet mellan P och Q samt avståndet mellan Q och R.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Varje mängd kan göras till ett metriskt rum genom att tilldela den den diskreta metriken d_0:
d_0(x, y) := \left\{ 
\begin{array}{cc} 
0 & \mathrm{om}\ x = y \\ 
1 & \mathrm{om}\ x \neq y
\end{array} \right.
  • \mathcal{C}[0, 1], klassen av alla kontinuerliga funktioner definierade på [0, 1], blir med metriken
d(f, g) = \sup_{x\in[0,1]}|f(x) - g(x)|

(metriken inducerad från supremumnormen) ett metriskt rum. Med samma metrik är \mathcal{C}[a,b] ett metriskt rum för alla kompakta intervall.

  • Mängden av reella tal (betecknad \mathbb{R}) är ett metriskt rum med avståndsfunktionen  d(x,y) = |x-y| .
  • Mängden \mathbb{R}^3 består av alla 3-tupler (x,y,z) där x, y och z samtliga är reella tal. Denna mängd ses konkret som punkter i det tredimensionella rummet, där 3-tupeln (a,b,c) motsvarar punkten med x-koordinat a, y-koordinat b samt z-koordinat c.
Mängden \mathbb{R}^3 är ett metriskt rum med avståndsfunktionen
 d( (x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2) ) = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 } .
Denna avståndsfunktion är det avstånd som fås i rymdgeometrin genom användande av Pythagoras sats.
d(u,v) = ||u - v|| för alla vektorer u och v i V.
  • För varje ändlig mängd M kan potensmängden 2^M ges en metrik genom att för A,B\in2^M definiera d(A,B) som antalet element i den symmetriska differensen  A\,\triangle\,B=(A\smallsetminus B)\cup(B\smallsetminus A).

I ovanstående exempel angavs bara en metrik för varje mängd. Samma mängd kan dock ofta på ett naturligt sätt ges olika metriker. Exempelvis har \mathbb{R}^3 inte bara den ovan beskrivna metriken, utan också den som ges av dess L1-norm:

 d_1 ( (x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2) ) = \mathopen| x_1-y_1\mathclose| + \mathopen| x_1-y_1\mathclose| + \mathopen| x_1-y_1\mathclose|\,.

Eftersom det är mängden och metriken tillsammans som definierar ett metriskt rum, är exempelvis (\mathbb{R}^3,d) och (\mathbb{R}^3,d_1) två olika metriska rum, men med samma "underliggande mängd" \mathbb{R}^3.

Ett annat exempel på att en mängd kan ha många olika naturliga metriker ges av de p-adiska metrikerna på mängden Z av heltal. För varje primtal p kan vi införa en metrik dpZ genom föreskriften att dp(m,n) skall vara p-r, omm och n är två olika heltal, och r är det största naturliga talet med egenskapen att pr delar skillnaden m-n, och att dp(m,m) = 0. (Exempelvis är alltså d2(233,137) = 2-5 = 0,03125 men d3(233,137) = 3-1 = 0,33333…, eftersom 233 - 137 = 96 = 25·31.)

Kompletta metriska rum[redigera | redigera wikitext]

Ett metriskt rum (X,d) är komplett eller fullständigt om varje cauchykonvergent punktföljd i rummet är konvergent. Detta betyder, att om följden \mathcal{F} = (x_n)_{n=1}^\infty = (x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots) (där alla xn ligger i X) uppfyller att punkterna xm ligger närmare och närmare varandra för större och större index m, så finns det säkert någon punkt x i X, som punkterna xm närmar sig när m växer. Detta kan formellt uttryckas så här:

\bigl( \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \mathbf N \; \forall m,n > N \text{ gäller att } d(x_m,x_n) < \epsilon \bigr) \Rightarrow \bigl( \exists x \in X \; \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \mathbf N \; \forall m>N \text{ gäller att } d(x_m,x) < \epsilon \bigr) \,.

Ett metriskt rum (X,d) som inte är komplett kan alltid inbäddas i ett större rum som är komplett, kompletteringen av X. Kompletteringen bestäms av både mängden X och metriken d tillsammans. Exempelvis ger kompletteringen av (Z,dp) för ett visst primtal p de p-adiska heltalen Zp; och dessa är olika för olika p. (Z2 är alltså en helt annan mängd än exempelvis Z7.)

Topologi[redigera | redigera wikitext]

Den metriska topologin i ett metriskt rum X kan definieras i form av en bas, genom att basen definieras som alla öppna bollar:

 B_r(x) = \{y: d(x,y)<r\} \,

där  r > 0.[1]

Den inducerade topologin i X är alltså de mängderna som är unioner av öppna bollar:

\Omega_X = \{A\subseteq X: A = \bigcup_i B_{r_i}(\alpha_i),\ r_i\in\mathbb R_+,\ \alpha_i\in X\}.[2]

Detta kan även formuleras som att en mängd U är öppen i den metriska topologin om det kring varje x i U existerar en öppen boll som är en delmängd till U.[2]

Metriska rum med den metriska topologin är parakompakta Hausdorffrum. Den metriska topologin är den grövsta topologin på ett metriskt rum så att metriken d: X \times X \to \R är kontinuerlig.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] Armstrong, Mrtk Anthony (1979). Basic Topology (Springer 1983). Sid. 38. ISBN 0-387-90839-0 
  2. ^ [a b] Armstrong, Mrtk Anthony (1979). Basic Topology (Springer 1983). ISBN 0-387-90839-0 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.