q-derivata

Inom matematiken är q-derivatan eller Jacksonderivatan en q-analogi av den ordinära derivatan. Den introducerades av Frank Hilton Jackson. Den är inversen av Jacksons integral.

Definition

q-derivatan av en funktion f(x) definieras som

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

Den skrivs ofta som $D_{q}f(x)$.

q-derivatan är linjär:

$\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.$

Den satisfierar en produktformel analog till den för ordinära derivatan:

$\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Den satisfierar också kvotregeln

$\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.$

Relation till ordinära derivator

Q-differentiering har många av ordinära differentieringens egenskaper med några skillnader. Exempelvis är q-derivatan av ett monom

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$

där $[n]_{q}$ är q-analogin av n. Notera att $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$. Den n-te q-derivatan av en funktion vid 0 ges av

$(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!$

bara den ordinära n-te derivatan av f existerar vid x=0. Här är $(q;q)_{n}$ q-Pochhammersymbolen och $[n]_{q}!$ q-fakulteten. Om $f(x)$ är analytisk kan man använda Taylorformeln till definitionen av $D_{q}(f(x))$ och få

$\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).$

En q-analogi av Taylorexpansionen av en funktion vid noll följer:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, q-derivative, 24 november 2013.