q-derivata

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är q-derivatan eller Jacksonderivatan en q-analogi av den ordinära derivatan. Den introducerades av Frank Hilton Jackson. Den är inversen av Jacksons integral.

Definition[redigera | redigera wikitext]

q-derivatan av en funktion f(x) definieras som

\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.

Den skrivs ofta som D_qf(x).

q-derivatan är linjär:

\displaystyle D_q (f(x)+g(x)) = D_q f(x) + D_q g(x)~.

Den satisfierar en produktformel analog till den för ordinära derivatan:

\displaystyle D_q (f(x)g(x)) = g(x)D_q f(x) + f(qx)D_q g(x) = g(qx)D_q f(x) + f(x)D_q g(x).

Den satisfierar också kvotregeln

\displaystyle D_q (f(x)/g(x)) = \frac{g(x)D_q f(x) - f(x)D_q g(x)}{g(qx)g(x)},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

Relation till ordinära derivator[redigera | redigera wikitext]

Q-differentiering har många av ordinära differentieringens egenskaper med några skillnader. Exempelvis är q-derivatan av ett monom

\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} = 
[n]_q z^{n-1}

där [n]_q är q-analogin av n. Notera att \lim_{q\to 1}[n]_q = n. Den n-te q-derivatan av en funktion vid 0 ges av

(D^n_q f)(0)=
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= 
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q!

bara den ordinära n-te derivatan av f existerar vid x=0. Här är (q;q)_n q-Pochhammersymbolen och [n]_q! q-fakulteten. Om f(x) är analytisk kan man använda Taylorformeln till definitionen av D_q(f(x)) och få

\displaystyle D_q(f(x)) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q-1)^k}{(k+1)!} x^k f^{(k+1)}(x).

En q-analogi av Taylorexpansionen av en funktion vid noll följer:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)\,\frac{z^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (D^n_q f)(0)\,\frac{z^n}{[n]_q!}

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, q-derivative, 24 november 2013.