Ringen av heltal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ringen av heltal av en algebraisk talkropp K, ringen av alla heltalselement i K. Ett heltalselement är en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xn + cn−1xn−1 + … + c0. Denna ring betecknas ofta med OK eller . Eftersom alla rationella heltal tillhör K och är dess heltalselement, så är ringen av heltal Z alltid en delring av OK.

Ringen Z är den enklaste ringen av heltal emedan Z = OQ där Q är kroppen av rationella tal.[1] Beroende på detta kallas elementen av Z ofta "de rationella heltalen" inom algebraisk talteori.

Ringen av heltal av en algebraisk talkropp är den unika maximala ordningen av talkroppen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ringen av heltal OK är en ändligtgenererad Z-modul. Den är en fri Z-modul och har härmed en heltalsbas, det vill säga en bas b1, … ,bn ∈ OK av Q-vektor rummet K så att varje element x i OK har en unik representation

med aiZ.[2] Rangen n av OK som en fri Z-modul är lika med graden av K över Q.

Ringen av heltal i en talkropp är en Dedekinddomän.[3]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ring of integers, 8 juli 2014.
  1. ^ Cassels (1986) p.192
  2. ^ Cassels (1986) p.193
  3. ^ Samuel (1972) p.49