Ringen av heltal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ringen av heltal av en algebraisk talkropp K ringen av alla heltalselement i in K. Ett heltalselement är en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xn + cn−1xn−1 + … + c0. Denna ring betecknas ofta med OK eller \mathcal O_K. Eftersom alla rationella heltal tillhör to K och dess ring av heltal är ring Z alltid en delring av OK.

Ringen Z är den enklaste ringen av heltal[1] emedan Z = OQ där Q är kroppen av rationella tal.[2] Beroende på detta kallas elementen av Z ofta "rationella heltalen" inom algebraisk talteori.

Ringen av heltal av en algebraisk talkropp är den unika maximala ordningen av talkroppen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ringen av heltal OK är en ändligtgenererad Z-modul. Den är en fri Z-modul och har härmed en heltalsbas, det vill säga en bas b1, … ,bn ∈ OK av Q-vektor rummet K så att varje element x i OK har en unik representation

x=\sum_{i=1}^na_ib_i,

med aiZ.[3] Rangen n av OK som en fri Z-modul är lika med graden av K över Q.

Ringen av heltal i en talkropp är en Dedekinddomän.[4]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ring of integers, 8 juli 2014.
  1. ^ The ring of integers, without specifying the field, refers to the ring Z of "ordinary" integers, the prototypical object for all those rings. It is a consequence of the ambiguity of the word "integer" in abstract algebra.
  2. ^ Cassels (1986) p.192
  3. ^ Cassels (1986) p.193
  4. ^ Samuel (1972) p.49