Ringen av heltal

Inom matematiken är ringen av heltal av en algebraisk talkropp K, ringen av alla heltalselement i K. Ett heltalselement är en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xⁿ + c_n−1xⁿ⁻¹ + … + c₀ . Denna ring betecknas ofta med O_K eller ${\mathcal {O}}_{K}$. Eftersom alla rationella heltal tillhör K och är dess heltalselement, så är ringen av heltal Z alltid en delring av O_K.

Ringen Z är den enklaste ringen av heltal emedan Z = O_Q där Q är kroppen av rationella tal. Beroende på detta kallas elementen av Z ofta "de rationella heltalen" inom algebraisk talteori.

Ringen av heltal av en algebraisk talkropp är den unika maximala ordningen av talkroppen.

Egenskaper

Ringen av heltal O_K är en ändligtgenererad Z-modul. Den är en fri Z-modul och har härmed en heltalsbas, det vill säga en bas b₁, … ,b_n ∈ O_K av Q-vektor rummet K så att varje element x i O_K har en unik representation

$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$

med a_i ∈ Z. Rangen n av O_K som en fri Z-modul är lika med graden av K över Q.

Ringen av heltal i en talkropp är en Dedekinddomän.

Se även

• Heltalsring.

Referenser

Källor

• Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ring of integers, 8 juli 2014.

• Cassels, J.W.S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. "3". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5 
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, "322", Berlin: Springer-Verlag, , ISBN 978-3-540-65399-8 
• Samuel, Pierre (1972). Algebraic number theory. Hermann/Kershaw