Rolles sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För funktionen f gäller att f(a)=f(b). Därmed finns en punkt c, a<c<b, sådan att f'(c)=0.

Rolles sats är en matematisk sats, som bevisades av Michel Rolle 1691; den används främst i beviset av den mer generella medelvärdessatsen.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en reellvärd funktion som besitter följande tre egenskaper:

  1. Den är definierad och kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall .
  2. Den är deriverbar över det öppna intervallet .
  3. Den antar samma värde i intervallets ändpunkter: .

Då antar funktionens derivata värdet noll någonstans i det öppna intervallet ; det vill säga att intervallet innehåller ett tal, c, sådant att .

Bevis[redigera | redigera wikitext]

För funktionen g kan bara ett av följande två fall gälla:

  1. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen konstant:
  2. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen inte konstant:

En konstant funktion har en derivata som är lika med noll överallt i det inre av sitt definitionsområde.

Om det första fallet gäller så vet vi därför att derivatan till funktionen g är noll på hela intervallet :

Man kan därför välja c som vilket som helst tal mellan a och b; till exempel kan man ta .

Om det andra fallet gäller så skall vi visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller minst en punkt där derivatan till funktionen g är noll:

Det finns en sats som säger att

en kontinuerlig funktion över ett slutet och begränsat intervall antar både sitt största och sitt minsta värde över intervallet.

Vi vet att funktionen g är kontinuerlig över det slutna intervallet [a,b]. Därför antar den sitt största värde (M) för ett tal i detta intervall och sitt minsta värde (m) för ett tal i detta intervall; kalla dessa tal för och respektive.

Talen och kan inte båda vara ändpunkter till intervallet [a,b], eftersom förutsättningen att g(a) = g(b) då innebär att funktionen g är konstant, vilket vi utgår från att den inte är. Vi vet därför att något av talen och ligger i det öppna intervallet (a,b).

På det öppna intervallet (a,b) är funktionen g deriverbar och vi vet att den antar sitt största eller sitt minsta värde i detta intervall. Det finns en sats (Fermats kriterium) som säger att funktionens derivata i en sådan inre extrempunkt måste vara noll:

eller

Vi har härmed lyckats visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller ett tal där derivatan till funktionen g antar värdet noll:

(Ta talet eller .)

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Rolles sats är normalt det viktigaste delresultat som används för att bevisa differentialkalkylens medelvärdessats.