Sammansatt funktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
En illustration av den sammansatta funktionen g o f.

En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet , en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

Här kallas funktionen den inre funktionen och funktionen den yttre funktionen.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna och vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen . Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel men , är inte samma funktion som . Med andra ord är inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där och . I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar: och .

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
  • Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.