Sluten differentialform

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En differentialform av klass (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om

eller, i annan formalism, om . d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om är en k-form är en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt ().

Relation mellan slutna och exakta differentialformer[redigera | redigera wikitext]

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom för varje differentialform . I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rhamkohomologi.

de Rhamkohomologi[redigera | redigera wikitext]

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med . Vi låter nu beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M:

Den k:te de Rhamkohomologigruppen definieras nu som , eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär gäller att , medan för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.