Slutet hölje

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik är det slutna höljet till en mängd M mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s randpunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det slutna höljet har följande egenskaper:

.
är den minsta slutna mängden som innehåller M.
är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.
är sluten om och endast om .
Om så följer att .

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och .
  • Det slutna höljet till det öppna intervallet är det slutna intervallet .
  • Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
  • I komplexa talplanet är det slutna höljet av (den öppna skivan) lika med (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator[redigera | redigera wikitext]

I ett rum X, låt M vara en mängd, det slutna höljet till M och det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

Där är komplementet till M i X. Kan även utläsas X (mängd)minus M.