Sluten mängd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En sluten mängd är inom matematiken en mängd i \mathbb{R}^n sådan att alla dess randpunkter tillhör mängden självt. Det är ekvivalent med att dess komplement är en öppen mängd.

Mer konkret har vi att om M \subseteq \mathbb{R}^n ska kallas en sluten mängd så ska det för varje öppet klot K och en (rand)punkt a \in \mathbb{R}^n, dvs. K=\{a, x \in \mathbb{R}^n \and r \in \mathbb{R}| \quad |x-a|<r \}, finnas enbart punkter från M. Vidare, om M kallas en sluten mängd så gäller det att M^\complement är en öppen mängd, vilket betyder att randpunkter till M^\complement ligger i (M^\complement)^\complement =M.

För att kunna tala om slutna delmängder i en mängd behöver alltså en topologi vara definierad på mängden. En mängd är sluten om och endast om den är lika med sitt slutna hölje, eller om den innehåller alla sina randpunkter.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

I alla topologiska rum är hela rummet och den tomma mängden sluten.

Snittet av godtyckligt många slutna mängder är slutet och unionen av ändligt många slutna mängder är sluten.

Unionen av uppräkneligt många slutna mängder behöver inte vara sluten, sådana mängder kallas Fσ-mängder.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]