Subnormal delgrupp

Inom matematik är en delgrupp H av en given grupp G en subnormal delgrupp av G om det finns en ändlig kedja av delgrupper av gruppen, börjandes med H och som slutar i G, så att varje grupp är normal i den följande.

Mer noggrant säger man att $H$ är $k$-subnormal i $G$ om det finns delgrupper

$H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G$

av $G$ så att $H_{i}$ är normal i $H_{i+1}$ för alla $i$.

Egenskaper

• En 1-subnormal delgrupp är en äkta normal delgrupp, och omvänt.
• En ändligtgenererad grupp är nilpotent om och bara om alla av dess delgrupper är subnormala.
• Varje kvasinormal delgrupp, eller mer allmänt konjugatpermutabel delgrupp av en ändlig grupp är subnormal.
• Varje pronormal delgrupp som är subnormal är också normal. Speciellt är en Sylowdelgrupp subnormal om och bara om den är normal.
• Varje 2-subnormal delgrupp är en konjugatpermutabel delgrupp.

Subnormalitet är en transitiv relation, d.v.s. en subnormal delgrupp av en subnormal delgrupp är subnormal. Faktiskt kan subnormalitet definieras som transitiva höljet av normalitet.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Subnormal subgroup, 19 januari 2015.

• Robinson, Derek J.S. (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Helmut Wielandt: Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen. Mathematische Zeitschrift 45 (1939), S. 209-244.