Sylows satser

Sylows satser är en samling matematiska satser inom gruppteori uppkallade efter Ludwig Sylow . Sylows första sats ger ett tillräckligt villkor för att en ändlig grupp ska ha en undergrupp av ordning $p^{m}$ där p är ett primtal. Sylows andra sats säger att två p-Sylowundergrupper är konjugerade och Sylows tredje sats uttalar sig om antalet p-Sylowundergrupper.

Sylows satser och p-Sylowundergrupper är mycket viktiga inom ändlig gruppteori, speciellt inom klassificering av ändliga enkla grupper. På sätt och vis är Sylows satser en omvändning till Lagranges sats.

p-Sylowundergrupper

För ett primtal p är en p-grupp en grupp sådan att varje element i gruppen har ordning som är en potens av p. Dvs, om g är ett element i gruppen finns ett tal $p^{m}$ så att $g^{p^{m}}$ är identitetselementet. En p-undergrupp till en grupp G är en undergrupp som är en p-grupp.

En p-Sylowundergrupp H är en maximal p-undergrupp, dvs en p-undergrupp sådan att det finns någon annan p-undergrupp som innehåller H.

Sylows satser

Sylows första sats

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal och $p^{m}$ delar $|G|$ så finns en undergrupp i G av ordning $p^{m}$.

En enkel följdsats av den här satsen är Cauchys sats: För varje ändlig grupp G och varje primtal p som delar $|G|$ så finns ett element i G med ordning p.

Sylows andra sats

För en ändlig grupp G och ett primtal p, så är alla p-Sylowundergrupper i G konjugerade (och därför isomorfa), dvs om H och K är p-Sylowundergrupper finns ett element g i G så att $H=gKg^{-1}$.

Sylows tredje sats

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal som delar $|G|$ och $n_{p}$ är antalet p-Sylowundergrupper i G så är $n_{p}$ en delare till $|G|$ och $n_{p}\equiv 1\mod p$.

Följder

Ur Sylows satser följer det att för varje primtal p är varje p-Sylowundergrupp av samma ordning, $p^{n}$, och omvänt är varje delgrupp av ordning $p^{n}$ en p-Sylowundergrupp.

Ur Sylows tredje sats följer det att om $n_{p}=1$ är p-Sylowundergruppen till G en normal delgrupp.

Exempel

Låt G vara en grupp med ordning 15 = 3 · 5. Sylows tredje sats ger att $n_{3}$ måste dela 5 och vara 1 (mod 3), vilket ger att $n_{3}=1$. Alltså finns endast en undergrupp av ordning 3 och den är normal. På samma sätt får man att det bara finns en undergrupp av ordning 5 och att även den är normal. Då 5 och 3 är relativt prima så är snittet mellan undergruppen trivialt, vilket ger att G är den inre direkta produkten av grupper av ordning 3 och 5, dvs den cykliska gruppen av ordning 15. Alltså finns, upp till isomorfi, endast en grupp av ordning 15.

Referenser

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Sylow theorems, 14 april 2009.