Trapetsmetoden

Trapetsmetoden (ej att förväxla med trapetsregeln) är en numerisk metod för att lösa ordinära differentialekvationer som är begynnelsevärdesproblem. Trapetsmetoden är en implicit metod.

Metod

Givet en differentialekvation,

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},$

så uttrycks trapetsmetoden som

$y_{i+1}=y_{i}+h{\frac {f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2}},\quad {t_{i+1}=t_{i}+h},$

Där $y_{n}\approx y(t_{n})$ för $n>0$. Trapetsmetoden är implicit eftersom vi måste lösa ekvationen för $y_{i+1}$, till exempel genom Newtons metod, eller Eulers metod,om $f(t,y)$ är icke-linjär i $y$.

Motivering

Om vi integrerar differentialekvationen från $t_{n}$ till $t_{n+1}$ får vi (enligt insättningsformeln)

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

Denna integral kan approximeras med trapetsregeln,

$\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx h{\frac {f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))}{2}},$

vilket tillsammans med $y_{n}\approx y(t_{n})$ och $y_{n+1}\approx y(t_{n+1})$ ger trapetsmetoden,

$y_{i+1}=y_{i}+h{\frac {f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2}},\quad {t_{i+1}=t_{i}+h},$