Utökade reella tallinjen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna -\infty och \infty. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt \R vara reella tallinjen. Utökade reella tallinjen är en mängd

\overline{\R} := \R \cup \{-\infty\} \cup \{\infty\} ,

där punkerna -\infty och \infty uppfyller följande:

  • -\infty < a < \infty för alla a \in \R
  • -(\infty) = -\infty och -(-\infty) = \infty
  • \infty + \infty = \infty och \infty \cdot \infty = \infty
  • a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty för alla a > 0\,
  • a (-\infty) = (-\infty) a = -\infty för alla a > 0\,
  • a \cdot \infty = \infty \cdot a = -\infty för alla a < 0\,
  • a (-\infty) = (-\infty) a = \infty för alla a < 0\,
  • a + \infty = \infty + a = \infty för alla a \in \R
  • \infty - a = \infty för alla a \in \R
  • a - \infty = -\infty för alla a \in \R
  • \frac{a}{\infty} = 0 för alla a \in \R \setminus \{ 0 \}
  • \frac{a}{0} = \infty för alla a > 0 \,
  • \frac{a}{0} = -\infty för alla a < 0 \,.

Ibland, till exempel inom måtteori, definieras även:

  • 0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0 och 0 \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot 0 = 0.

Uttrycken

  • \frac{\infty}{\infty}, \frac{\infty}{0}, \frac{0}{\infty}, \infty - \infty och \frac{0}{0}

är inte definierade i \overline{\R}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]