Vandermondematris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Vandermondematris är inom linjär algebra en matris vars rader beskriver geometriska följder, uppkallad efter Alexandre-Théophile Vandermonde.

Om  V är en Vandermondematris av format  m \times n är alltså elementen  v_{ij} = a_i^{j-1} för tal  a_i , så att matrisen blir:

 V = 
\begin{pmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n
\end{pmatrix}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För kvadratiska (m=n) Vandermondematriser är determinanten

\det V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).

En Vandermondematris där  m \leq n har maximal rang om och endast om alla  a_i är distinkta.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Vandermondematriser betraktas vid polynominterpolation, eftersom att lösa systemet  Vu = y , där  V är en Vandermondematris, är ekvivalent med att hitta koefficienterna  u_k i polynomet

P(x) = \sum_{k=0}^{n-1} u_kx^k

av grad \leq n-1 som har värdena  y_k vid  a_k .