Matrisrang

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra definieras rang för en matris A, med koefficienter tillhörande någon kropp K, som det maximala antalet linjärt oberoende kolonner i A, eller med andra ord, dimensionen av kolonnrummet till A. Man brukar även tala om radrang som antalet linjärt oberoende rader i A, det vill säga dimensionen av radrummet. Radrangen och kolonnrangen sammanfaller emellertid.

Alternativa definitioner[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en m x n matris, med koefficienter i K. Betraktas A som en linjär avbildning  A: K^n \rightarrow K^m kan rang A definieras som dimensionen hos bildrummet för A. Detta visar att rang är oberoende av bas.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Från definitionerna ovan fås direkt att om A är en m x n matris, så är rang A \leq \min(m,n) . Råder likhet sägs A ha maximal rang. Är m = n, är detta ekvivalent med att A är inverterbar

  • Vid sammansättning av avbildningar behöver inte rangen bevaras. Det gäller alltid att rangen av AB är mindre eller lika med det minsta av de två talen rang A och rang B

Beräkning av rang[redigera | redigera wikitext]

Rangen hos en matris kan exempelvis beräknas med hjälp av LU-faktorisering(Gausselimination). Detta leder dock till problem vid flyttalsberäkningar eftersom då koefficienterna inte är exakt kända. Om A då inte har maximal rang, blir resultatet lätt felaktigt. För numeriska beräkningar av rang används därför antingen singulärvärdesfaktorisering, som dock är beräkningskrävande, samt QR-faktorisering, som också är mer numeriskt stabilt för rangberäkning än Gausselimination.