Hoppa till innehållet

Variabelseparation

Från Wikipedia

Fouriers metod eller variabelseparation är ett sätt att lösa partiella differentialekvationer.

Grundidén är att man antar att en funktion av flera variabler i själva verket är en produkt av funktioner i en variabel, varefter man kan bryta upp sin ursprungliga ekvation i flera mindre delar. Dessa mindre delar kommer sedan ge upphov till Fourierserier.

En homogen vågekvation i en rumsvariabel skrivs:

För att lösa detta med Fouriers metod ansätts att

Sätter man in detta i den ursprungliga ekvationen fås

Om man stuvar om lite kommer man så till

Här beror vänsterledet endast på x, och högerledet endast på t, så i själva verket kan ingendera bero på någonting, och båda leden är konstanta.

För att fortsätta ansätter man en sådan konstant, ofta kallad λ, och får så differentialekvationer i en variabel att lösa. Dessa faller dock närmast under Sturm-Liouvilles sats.

Det bör poängteras att det inte är självklart att denna metod kommer röna framgång i det enskilda fallet; differentialekvationen kan vara av sådan art att det är omöjligt att använda Fouriers metod. Dessutom finns det krav på randvärdena, men dessa går oftast att kringgå på olika sätt.

Xcas:[1] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2] ????