Fourierserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En fyrkantsvåg approximerad med ett tilltagande antal fourierkomponenter; observera beteendet vid diskontinuiteterna.

Fourierserier, efter Jean Baptiste Joseph Fourier, är en variant av Fouriertransformen för funktioner som bara är definierade för ett intervall av längden T, eller som är periodiska med periodiciteten T. Varje kontinuerlig periodisk funktion kan skrivas som summan av ett antal sinusfunktioner med varierande amplitud där varje sinusfunktion har en frekvens som är en heltalsmultipel av den lägsta frekvensen i den periodiska funktionen, 1/T (grundtonen).

Fourierutvecklingen av en funktion f med perioden 2π kan definieras som

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1} ^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)), där
\left\{ \begin{array}{c} a_n = \frac{1}{\pi} \int _{-\pi} ^{\pi} f(x)\cos(nx)dx \\ b_n = \frac{1}{\pi} \int _{-\pi} ^{\pi} f(x)\sin(nx)dx \end{array} \right.

Inte alla periodiska funktioner kan skrivas som en Fourier-serie där serien konvergerar punktvis. Ett tillräckligt villkor är t ex att f är styckvis deriverbar.

Mer allmänt kan Fourierutvecklingen av en vektor  \bar{x} relativt en ortonormerad bas  \{ e_i \}_{i=0} ^{n-1} i ett Hilbertrum definieras som

 \bar{x}=\sum _{i=0} ^{n-1} \langle \bar{x}, e_i \rangle e_i , för någon inre produkt  \langle \cdot, \cdot \rangle .

Tidskontinuerlig Fourierserie[redigera | redigera wikitext]

Komplex form[redigera | redigera wikitext]

Fourier-serien för en reell- eller komplexvärd tidsbegränsad funktion f(t), t\in\{\mathbb{R}, t_0\le t\le t_0+T\}, eller för en reell- eller komplexvärd periodisk funktion f(t) med periodiciteten T, definieras som:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i2\pi nt/T}

där

c_n = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-i2\pi nt/T}\,dt \quad (n\in\mathbb{Z})

Basfunktionerna är:

\Phi_n(t) = e^{i2\pi nt/T}

De är ortogonala:

 \left\langle \Phi_n(t),\Phi_m(t) \right\rangle =
\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} \Phi_n(t) \Phi_m^*(t) \, dt
  = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} e^{i2\pi nt/T} e^{-i2\pi mt/T} \, dt =
\begin{cases}
1, & \mbox{om } n = m \\
0,      & \mbox{annars}
\end{cases}

Reell form[redigera | redigera wikitext]

Approximation av ev fyrkantsvåg (svart kurva) med fourierserien på reell form, tillsammans med basfunktionerna multiplicerade med sina respektive koefficienter (färgade kurvor)
Approximation av en sågtandskurva (ovan) med fourierserien på reell form, tillsammans med basfunktionerna multiplicerade med sina respektive koefficienter (under)

Den reella formen består, till skillnad från den komplexa, av sinus- och cosinuskurvor, och kallas därför reell eftersom dessa kurvor är reella.

Motivation[redigera | redigera wikitext]

Den komplexa formen kan vara svår att visualisera och därmed svårbegriplig, eftersom baskurvorna är komplexvärda och kretsar kring t-axeln. Att använda sig av komplexvärda kurvor kan kännas onödigt, då man oftast vet att summan kommer att vara reellvärd.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Man har utgått från den komplexa fourierserien:

f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i2\pi nt/T} = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{in\Omega t},\ \Omega=2\pi/T

Sedan har man omformulerat den med hjälp av Eulers formel:

f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(\cos(n\Omega t)+i\sin(n\Omega t))
\begin{array}{rcc}
= c_0\ +\ \sum_{n=1}^\infty (c_{-n} &\!\!\!(\cos(-n\Omega t)+i\sin(-n\Omega t)) & \\
                          +\ c_n    &\!\!\!(\cos(+n\Omega t)+i\sin(+n\Omega t)) &\!\!\!)
\end{array}
=c_0\ +\ \sum_{n=1}^\infty (c_n+c_{-n})\cos(n\Omega t)+i(c_n-c_{-n})\sin(n\Omega t)
=\frac{a_0}{2}\ +\ \sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\Omega t)+b_n\sin(n\Omega t)

där

\begin{array}{crl}
a_n = & c_n+c_{-n}    = \displaystyle{\frac{2}{T}}\int_0^T f(t)\cos(n\Omega t)dt, & n = 0, 1, 2, ... \\
\\
b_n = & i(c_n-c_{-n}) = \displaystyle{\frac{2}{T}}\int_0^T f(t)\sin(n\Omega t)dt, & n = 1, 2, ...
\end{array}

Om alla sinus-koefficienter (b1, b2, ...) är 0 så vet man att kurvan jämn, eftersom de enda termerna som blir kvar är cosinustermer, vilka är jämna. Detta motsvaras av att serien av fourierkoefficienter är jämn (c-n = cn). Om däremot alla cosinuskoefficienter (a0, a1, ...) är noll, så vet man att kurvan är udda. Detta motsvaras av att serien av fourierkoefficienter är udda (c-n = -cn).

Tidsdiskret Fourierserie[redigera | redigera wikitext]

I bilden har man använt en tvådimensionell diskret fourierserie av en röntgenbild, för att filtrera bort vissa frekvenser och på så sätt ta bort en viss form av periodisk störning.

Tidsdiskreta fourierserier används ofta i viss mjukvara, då man oftast bara har tillgång till ett begränsat antal samplingar. Oftast används de för komprimering eller behandling av digital media så som ljud och bilder.

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion f(n), n\in\{\mathbb{Z}, 0\le n\le N-1\}, definieras som:

f(n) = \sum_{k=0}^{N-1} c_k e^{i2\pi kn/N}

där

c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{-i2\pi kn/N}\quad (k\in\mathbb{Z})

Basfunktionerna är:

\Phi_k(n) = e^{i2\pi kn/N}

De är ortogonala:

 \left\langle \Phi_k(n),\Phi_l(n) \right\rangle =
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Phi_k(n) \Phi_l^*(n)
  = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{i2\pi kn/N} e^{-i2\pi ln/N} =
\begin{cases}
1, & \mbox{om } k = l \\
0, & \mbox{annars}
\end{cases}

Den tidsdiskreta Fourierserien kräver i allmänhet N^2 komplexa multiplikationer. Algoritmer för att beräkna den betydligt snabbare går under namnet FFT (Fast Fourier Transform), vilka kräver i storleksordningen N \log N komplexa multiplikationer men ställer krav på N som ofta ska primtalsfaktoriseras på ett visst sätt (de flesta implementationer av FFT stödjer bara N som är exponenter av två, d.v.s. N=2^n,\ n\in\mathbb{N}, även om det finns de implementationer som är mer flexibla).


Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har media relaterad till Fourierserie.

Se även[redigera | redigera wikitext]