Weierstrassfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Weiserstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass under sin tid som professor i Berlin [1]. Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

där och b är ett udda heltal större än 1 [2].

Historia[redigera | redigera wikitext]

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade dock skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, dock publicerades dessa aldrig vilket gjorde att de inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen. [2]. Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet[redigera | redigera wikitext]

Eftersom

och

kommer funktionen vara kontinuerlig på hela enligt Weierstrass majorantsats [2].

Bevis av icke-deriverbarhet[redigera | redigera wikitext]

Bevisidé[redigera | redigera wikitext]

Beviset, utförd enligt [2], bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att

Börja med att låta och var två godtyckliga tal.

Välj så att

och sätt

och .

För att visa att görs följande beräkningar:

vilket ger olikheten

varför .

Samtidigt fås att , dvs från vänster då

och , dvs från höger då efter b>1.

Uppskattning av vänsterderivatan[redigera | redigera wikitext]

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i och enligt

.

Där alltså S1 är summan av kvoterna från n=0 till n=m-1 och S2 är summan av kvoterna från n=m till oändligheten. S1 och S2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S1 uppåt och S2 nedåt.

Uppskattning av S1[redigera | redigera wikitext]

S1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln

samt det faktum att .

Uppskattning av S2[redigera | redigera wikitext]

S2 kan, då b är ett udda heltal och skrivas om enligt

och

vilket ger

.

Vi får alltså att

.

I och med att och

är alla termer positiva vilket ger att

.

Resultat[redigera | redigera wikitext]

Uppskattningarna av S1 och S2 ger att det existerar ett och så att

.

Uppskattning av högerderivatan[redigera | redigera wikitext]

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

.

Uppskattning av S'1[redigera | redigera wikitext]

skrivs om på samma sätt som .

Uppskattning av S'2[redigera | redigera wikitext]

kan uppskattas på samma sätt som enligt nedan.

Från beräkningen av S2 fås även att

vilket ger att

.

I och med att och

är alla termer positiva vilket ger att

.

Resultat[redigera | redigera wikitext]

Uppskattningarna av S'1 och S'2 ger att det existerar ett och så att

Slutsats[redigera | redigera wikitext]

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

Detta tillsammans med att

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Jan Thompson & Thomas Martinsson (1991). Matematiklexikon. ISBN 91-46-16515-0 
  2. ^ [a b c d] http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf