Kontinuerlig funktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Att en reellvärd funktion definierad på hela R är kontinuerlig betyder att dess graf är sammanhängande.
Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten x0 eftersom den där gör ett hopp.

Inom matematiken är en kontinuerlig funktion en funktion som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott, så att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För en reellvärd funktion f med ett reellt argument kan man precisera detta som att man för varje givet reellt tal x0 där funktionen är definierad och varje given noggrannhet kan vara säker på att f(x) approximerar f(x0) med minst denna noggrannhet för alla x som ligger tillräckligt nära x0.

Begreppet kontinuitet är dock mycket använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte så lätt låter sig omformuleras i en stringent definition. Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. Där definieras en funktion mellan två topologiska rum som kontinuerlig, om varje urbild av en öppen mängd är öppen. Man kan visa att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • En funktion f definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt x = x0 i funktionens definitionsmängd Df om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

Att f är kontinuerlig betyder att den är kontinuerlig i varje punkt i Df. Exempelvis är f definierad av f(x) = 1/x för alla x skilda från 0 kontinuerlig, trots att dess graf "hoppar" i punkten 0.

Formella definitioner av "kontinuerlig funktion"[redigera | redigera wikitext]

Den intuitiva beskrivningen med hjälp av "noggrannhet" brukar traditionellt formaliseras i termer av ε (som uttalas epsilon och här betecknar "utvärdesnoggranheten") och δ (delta, "invärdesnoggrannheten"). Detta ger följande precisa definition i det mest grundläggande fallet.

På reella tallinjen[redigera | redigera wikitext]

En reellvärd funktion f av en reell variabel (alltså sådan att dess definitionsmängd DfR) är:

  • kontinuerlig i punkten xDf om det för vart ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att yDf och |x - y| < δ medför |f(x) - f(y)| < ε.
  • kontinuerlig i ett intervall (exempelvis [a, b] eller ]a, b[) om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.
  • kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt x i Df.

Man kan göra liknande definitioner exempelvis för funktioner mellan delmängder av olika ändligtdimensionella reella vektorrum, så snart man har preciserat vad |x - y| betyder. Exempelvis brukar man på Rn definiera detta som det euklidiska avståndet:

.

Mellan metriska rum[redigera | redigera wikitext]

Allmännare räcker det om både definitionsmängden och målmängden är försedda med metriker, avståndsfunktioner som uppfyller triangelolikheten. Med andra ord, om (X, dx) och (Y, dy) är metriska rum är funktionen f : XY kontinuerlig i xX om det för varje ε > 0 existerar ett δ > 0 så att dX(x, y) < δ ⇒ dY(f(x), f(y)) < ε.

Om XR och Y = R ges den vanliga metriken dR definierad genom dR(a,b) = |a - b|, är denna definition ekvivalent med den förra definitionen.

Mellan topologiska rum[redigera | redigera wikitext]

För allmänna topologiska rum X och Y gäller att en funktion f : XY är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för varje öppen mängd UY gäller att f -1(U) är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att f(U)V. Om X och Y är metriska rum, så är denna definition ekvivalent med den klassiska ε-och-δ-definitionen.

Riktad kontinuerlighet[redigera | redigera wikitext]

en högerkontinuerlig funktion

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.