Bernoullis olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Bernoullis olikhet, efter Jakob Bernoulli, är en matematisk olikhet som approximerar exponentiering av 1+x. Den används ofta i bevis av andra olikheter.

Olikheten lyder

(1 + x)^n \geq 1 + nx\!

för varje heltal n ≥ 0 och varje reellt tal x > −1. Om exponenten n är jämn gäller olikheten för alla reella tal x. En strikt variant av olikheten lyder

(1 + x)^n > 1 + nx\!

för varje heltal n ≥ 2 aoch varje reellt tal x ≥ −1 med x ≠ 0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Olikheten kan bevisas med hjälp av induktion: För n=0, (1+x)^0 \ge 1+0x \iff 1\ge 1 vilket är sant.

Antag nu att olikheten gäller för n=k:

(1+x)^k \ge 1+kx

Då gäller att

(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)

(från antagandena, då (1+x)\ge 0), så

(1+x)^{k+1}\ge 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x

(då kx^2 \ge 0) Detta ger att (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x, vilket bevisar att antagandet även gäller för n=k+1.

Induktion ger nu att olikheten gäller för alla n\ge 0 \ \ \Box \;

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Exponenten n kan generaliseras till ett godtyckligt reellt tal r enligt följande: om x > −1, så är

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

om r ≤ 0 eller r ≥ 1, och

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

för 0 ≤ r ≤ 1. Generaliseringen kan visas genom jämförelser av derivatorna. Återigen kräver den strikta varianten av olikheterna att x ≠ 0 och att r ≠ 0, 1.

Man kan även generalisera olikheten till godtyckliga faktorer:

\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i

om -1<x_i<0\; gäller för all x_i\; eller x_i>0\; för alla x_i\;. Detta bevisas på motsvarande sätt som induktionsbeviset ovan.

Om man låter u_i=-x_i\; och -1\leq x_i\leq 0 (med andra ord 0\leq u_i\leq 1), Så får man Weierstrass produktolikhet:

\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.

Besläktade olikheter[redigera | redigera wikitext]

Följande olikhet begränsar 1 + x upphöjt til r uppåt. För alla reella tal x, r > 0 gäller

(1 + x)^r < e^{rx},\!

där e är basen för naturliga logaritmen Detta kan visas genom att använda olikheten (1 + 1/k)k < e.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.