Boolesk ring

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Boolesk ring är en ring R sådan att, för alla a som tillhör R gäller att, a² = a, dvs elementen är idempotenta.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En Boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås följande:

(a + b)^2 = a + b vilket medför att, a^2 + ab + ba + b^2 = a + b. Förenkling ger att, a + ab + ba + b = a+b. Efter det att ekvationens båda led subtraherats med a+b fås att ab + ba = 0. Detta samband ger att ab = -ba och även, om  b ersätts med a, att aa + aa = 0.

Alltså,  0 = aa + aa = a^2 + a^2 = a + a = 2a varur man får att,  2a = 0 och att,  a = -a . Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till a är a, dvs a är invers till sig själv.

Ringens kommutativitet ges av att, ab = -ba = ba.

Symmetrisk differens A\,\Delta\,B\,

Om potensmängden till en mängd M, är 2^M = \{X; X\subseteq M\}, där  X är en delmängd till M, så är 2^M en boolesk ring med symmetrisk differens \,\Delta\,\,, motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt \cap, motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.

Allmänt gäller att varje Boolesk ring (R, {\cdot}, {+}, {-},0,1) är isomorf med en Boolesk algebra  (R, {\land}, {\lor}, {\neg}, 0, 1) med definitionerna:

a\lor b = a+b + ab
a\land b = ab
\neg a = a+1.

Med ovanstående räkneregler är (Z_2, {+}, {\cdot}, 0, 1) en Boolesk algebra. En Boolesk ring och en Boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.[1]

Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ B.L. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag, Berlin 1936.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.