Boolesk ring

En boolesk ring är en ring R sådan att för alla element a, som tillhör R gäller att a² = a, det vill säga elementen är idempotenta.

Egenskaper

En boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås:

$(a+b)^{2}=a+b$ vilket medför att, $a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+b.$

Förenkling ger att, $a+ab+ba+b=a+b$.

Efter det att ekvationens båda led subtraherats med $a+b$ fås att $ab+ba=0$.

Detta samband ger att $ab=-ba$ och även, om $b$ ersätts med $a$, att $aa+aa=0$.

Alltså, $0=aa+aa=a^{2}+a^{2}=a+a=2a$

varur man får att, $2a=0$ och att, $a=-a$.

Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till $a$ är $a$, dvs $a$ är invers till sig själv.

Ringens kommutativitet ges av att, $ab=-ba=ba$.

Symmetrisk differens

Om potensmängden till en mängd M, är $2^{M}=\{X;X\subseteq M\}$, där $X$ är en delmängd till $M$, så är $2^{M}$ en boolesk ring med symmetrisk differens $\,\Delta \,\,$, motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt $\cap$, motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.

Allmänt gäller att varje boolesk ring $(R,{\cdot },{+},{-},0,1)$ är isomorf med en boolesk algebra $(R,{\land },{\lor },{\neg },0,1)$ med definitionerna:

$a\lor b=a+b+ab$

$a\land b=ab$

$\neg a=a+1$.

Med ovanstående räkneregler är $(Z_{2},{+},{\cdot },0,1)$ en boolesk algebra. En boolesk ring och en boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.

Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.

Referenser

• Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham Massachusetts 1964.
• John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.