Buffons nål

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Buffon needle.gif

Buffons nål är ett matematiskt problem, som även kan användas som Monte Carlometod för att uppskatta π. Problemet uppställdes först av Georges-Louis Leclerc de Buffon: antag att vi har till exempel ett papper med parallella linjer med ett givet mellanrum x samt en nål med längden l, och att vi släpper nålen på papperet. Vad är sannolikheten att nålen kommer att landa så att den korsar en av linjerna?

Man kan visa att sannolikheten för fallet x \ge l är \,2 l\, /\,x \pi. Kalla antalet nedsläpp för N och antalet gånger nålen korsar en linje för C. Då erhålles en approximation \pi \approx 2 N l / C x; ju fler nedsläpp N, desto bättre närmevärde.

Det enklaste fallet[redigera | redigera wikitext]

Det finns tre olika fall på förhållandet mellan längden på nålen och avståndet mellan linjerna. Vi börjar med det enklaste fallet, då längden på nålen är densamma som avståndet mellan linjerna. Det finns två variabler, vinkeln på nålen u, och avståndet från mitten av nålen till den närmsta linjen D. U kan variera från 0 till 180 grader (0 till \pi) och mäts mot en tänk parallell linje mellan linjerna på pappret. Avståndet från nålens centrum till den närmsta linjen kan aldrig vara mer än halva avståndet mellan linjerna. För enkelhetens skull låter vi avståndet mellan linjerna vara ett. Om man antar att man kastar nålen helt slumpmässigt så kan man räkna ut sannolikheten att en nål korsar en av linjerna.

Sannolikheten för en träff är arean som innesluts av kurvan dividerat med arean av hela rektangeln. Den skuggade ytan i bild två får vi genom att integrera f(x) från 0 till π.

\displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\ \sin u\, du = \left[-\frac {1} {2}\ \cos u\right]_{0}^{\pi} = \left(-\frac{1}{2}\ \cos \pi - \left(-\frac{1}{2}\ \cos 0\right)\right) =
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Värdet av hela rektangeln är \frac {1} {2}\ \pi. Sannolikheten för att nålen träffar linjen är alltså: \frac {1} {\frac {\pi}{2}} = \frac {2}{\pi} = 0,6366197... Så för att få fram ett bra närmevärde på \pi är då 2 /sannolikheten att nålen träffar linjen}. Alltså; ta antalet kast och multiplicera med 2. Dividera sedan med antalet träffar. 2(Antalet kast)/(antalet träffar) = \pi. (approximativt)

Det allmänna fallet[redigera | redigera wikitext]

Nu behandlar vi problemet när längden på nålen är mindre än avståndet mellan linjerna, och får därmed ett mer allmänt fall. Det finns även ytterligare ett fall, nämligen då nålens längd är större än avståndet mellan linjerna. Detta fall leder dock till ett mer komplicerat resultat som jag överlåter till någon annan.


Genom att studera bilden inser vi att precis som förut kommer vinkeln u ligga mellan 0 och \pi och avståndet d kommer att ligga mellan 0 och \frac {D}{2}. Vi kan till exempel sätta D=1 och att L\leD.

(BILD på sannolikhetsfördelningen för att nålen skall korsa en linje)

En nål korsar en linje om d\le \frac {L} {2}\sin u, dvs om punkten liggen i det (bildens färg). Vi får nu sannolikheten för ett träff som integralen av \int_{0}^{\pi} \frac {1} {2}\ \sin u\, du från 0 till π dividerat med arean av rektangeln.

\displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{L}{2}\ \sin u\, du = \left[-\frac {L} {2}\ \cos u\right]_{0}^{\pi} = \left(-\frac{L}{2}\ \cos \pi - \left(-\frac{L}{2}\ \cos 0\right)\right) =
\frac{L}{2} + \frac{L}{2} = L


Arean av rektangeln är \frac {D\pi} {2}. Sannolikheten för att nålen korsar en linje är då: p(nål korsar linje) = \frac {2L} {D\pi}. Med D=1 ger det p= \frac {2L}{\pi} . (Att jämföra med fall 1 då L=D=1 ger då samma svar som förut).

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Man kan naturligtvis använda sig av flera linjer än bara en om man känner för det så som bilden nedan visar: (bild)

Källor[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.