Clausens funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Clausens funktion, introducerad av Thomas Clausen 1832, en speciell funktion. Den kan definieras som en integral, trigonometrisk serie, och med hjälp av andra speciella funktioner. Den är relaterad till polylogaritmen, inversa tangensintegralen, polygammafunktionen, Riemanns zeta-funktion och Dirichlets beta-funktion.

Clausens funktion av ordning 2 – som ofta kallas för Clausens funktion, fast den är en av Clausens funktioner – definieras som integralen

\operatorname{Cl}_2(\varphi)=-\int_0^{\varphi} \log\Bigg|2\sin\frac{x}{2} \Bigg|\, dx:

I intervallet 0 < \varphi < 2\pi\ får sinus endast positiva värdet, så absoluta värdet kan lämnas bort. Clausens funktion har Fourierserien

\operatorname{Cl}_2(\varphi)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\varphi}{k^2} = \sin\varphi +\frac{\sin 2\varphi}{2^2}+\frac{\sin 3\varphi}{3^2}+\frac{\sin 4\varphi}{4^2}+ \, \cdots

Allmän definition[redigera | redigera wikitext]

Mer allmänt definieras följande två generaliserade Clausens funktioner:

\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}
\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}

som gäller för komplexa z med Re z >1.

z ersätts med ett icke-negativt heltal, definieras Clausens funktioner av standardtyp som serierna

\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}
\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}
\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}
\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}.

Derivator[redigera | redigera wikitext]

\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)
\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m}}=-\operatorname{Cl}_{2m}(\theta)
\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)
\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)

Integraler[redigera | redigera wikitext]

\int_0^{\theta} \operatorname{Cl}_{2m}(x)\,dx=\zeta(2m+1)-\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)
\int_0^{\theta} \operatorname{Cl}_{2m+1}(x)\,dx=\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta)
\int_0^{\theta} \operatorname{Sl}_{2m}(x)\,dx=\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta)
\int_0^{\theta} \operatorname{Sl}_{2m+1}(x)\,dx=\zeta(2m+2)-\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta)

Relation till inversa tangensintegralen[redigera | redigera wikitext]

Inversa tangensintegralen definieras i intervallet 0 < z < 1 som

\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}.

Den kan skrivas i sluten form med hjälp av Clausens funktion:

\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta).

Relation till Barnes G-funktion[redigera | redigera wikitext]

För reella 0 < z < 1 kan Clausens funktion av andra ordningen skrivas med hjälp av Barnes G-funktion och gammafunktionen:

\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) -2\pi \log \left( \frac{\sin \pi z}{ \pi } \right).

Andra oändliga serier[redigera | redigera wikitext]

En snabbare konvergerande serie för Clausens funktion är

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
1-\log|\theta| + 
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n}

som gäller för |\theta|<2\pi, där \zeta(s) är Riemanns zeta-funktion. En annan snabbt konvergerande serie är

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n.

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=G
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\pi \log\left( 
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-3\pi \log 
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\pi \log\left( 
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-2\pi \log 
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{2\pi}{3} \log \left(\frac{ 2\pi 
}{\sqrt{3}}\right)
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} 
\right)
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} 
\right)
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} 
}{\sqrt{3}-1} \right)
\operatorname{Cl}_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} 
}{\sqrt{3}+1} \right)

Speciella värden av högre ordningens funktioner[redigera | redigera wikitext]

Några speciella värden av Clausens funktioner av högre ordning är

\operatorname{Cl}_{2m}\left(0\right)=\operatorname{Cl}_{2m}\left(\pi\right)=\operatorname{Cl}_{2m}\left(2\pi\right)=0
\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(2m)
\operatorname{Cl}_{2m+1}\left(0\right)=\operatorname{Cl}_{2m+1}\left(2\pi\right)=\zeta(2m+1)
\operatorname{Cl}_{2m+1}\left(\pi\right)=-\eta(2m+1)=-\left(\frac{2^{2m}-1}{2^{2m}}\right)\zeta(2m+1)
\operatorname{Cl}_{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2^{2m+1}}\eta(2m+1)=-\left(\frac{2^{2m}-1}{2^{4m+1}}\right)\zeta(2m+1)

där G = \beta(2) är Catalans konstant, \beta(x) är Dirichlets beta-funktion, \eta(x) är Dirichlets etafunktion och \zeta(x) är Riemanns zeta-funktion.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Clausen function, 19 december 2013.