Polygammafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i \C och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:

\psi^{(m)}(z) := \frac{d^m}{dz^m} \psi(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln\Gamma(z).

Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.

Integralrepresentation[redigera | redigera wikitext]

Polygammfunktionen kan skrivas som integralen

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt

för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen

\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt.

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom

1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}

fås genom logaritmering

\ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{z}{n} - \ln(1 + \frac{z}{n}) \right)

och slutligen

\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}\right)

där \delta_{n0} är Kroneckers delta.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien vid z = 1 är

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} \frac {(m+k)!}{k!} \; \zeta (m+k+1)\; z^k \qquad m \ge 1

och

\psi^{(0)}(z+1)= -\gamma +\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^k

som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.

Differensekvation[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\,m!}{z^{m+1}}.

Reflektionsformel[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln

(-1)^m \psi^{(m)} (1-z) - \psi^{(m)} (z) = \pi \frac{d^m}{d z^m} \cot{(\pi z)}.

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är

k^{m+1} \psi^{(m)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right)\qquad m \ge 1

och

k \psi^{(0)}(kz) = k\log(k)) + \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(0)}\left(z+\frac{n}{k}\right).

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

\psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m!\; \zeta(m+1)\; , \qquad m>0
\psi^{(m)}(\tfrac12) = (-1)^{m+1} m!\; (2^{m+1}-1)\;\zeta(m+1)\; , \qquad m>0 \;,
\psi(1)=\psi^{(0)}(1)=-\gamma \;
\psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\;

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

En generalisering av polygammafunktionen för \scriptstyle s\in\C och \scriptstyle z\in\C\setminus-\N_0 är

\psi_s(z)=
\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z)
=\mathrm e^{-\gamma\,s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\mathrm e^{\gamma\,s}\,\frac{\zeta(s+1,z)}{\Gamma(-s)}\right).

Den satisfierar differensekvationen

\psi_s(z+1)=\psi_s(z)+\frac{\ln z-\psi(-s)-\gamma}{\Gamma(-s)}\,z^{-(s+1)}

där \scriptstyle\gamma är Eulers konstant.

Multiplikationsformeln är

\sum\limits_{k=0}^{n-1}\psi_s\left(\frac{z+k}{n}\right)=
n^{s+1}\psi_s(z)+\frac{n^{s+1}\ln n}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z).


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygamma function, 21 november 2013.