Disjunktion (logik)

Uppslagsordet Eller leder hit. För andra betydelser, se Eller (olika betydelser).

Disjunktion har i logiken två skilda betydelser. Med inklusiv disjunktion menas "eller" och med exklusiv disjunktion, "antingen eller". Påståendet, p eller q, är sant om minst en av p och q är sann och påståendet, antingen p eller q, är sant om exakt en av p och q är sann.

Logisk operator, Logisk grind
negation, NOT konjunktion, AND, NAND disjunktion, OR, XOR, NOR implikation ekvivalens, XNOR konnektiv sanningsfunktion sanningsvärdetabell de Morgans lagar

Representation

Inklusiv disjunktion betecknas med $\or$ och exklusiv disjunktion med $\underline{\or}$. I boolesk algebra betecknas inklusiv disjunktion med $+$. Exklusiv disjunktion har i den booleska algebran ingen distinkt symbol, men betecknas i andra sammanhang med $\oplus$, vilket står för räkning modulo-2.

När inte symbolen $\underline{\or}$ är tillgänglig skrivs den ibland ut som XOR. I programmeringsspråken Java, C och C++ används insättningstecknet (alltså ^).

Sanningsfunktion och sanningstabell

Disjunktionens egenskaper beskrivs i logiken som en funktion – en sanningsfunktion – av de ingående påståendenas sanningsvärden. Detta beskrivs med sanningstabeller, där F = falsk och S = sann:

Inklusiv disjunktion p q p eller q F F F F S S S F S S S S

Exklusiv disjunktion p q antingen p eller q F F F F S S S F S S S F

Boolesk algebra

I boolesk algebra skrivs inklusiv disjunktion och exklusiv disjunktion enligt följande:

p eller q = p + q

antingen p eller q = p·q´ + p´·q, där p´och q´ är inverserna till p respektive q.

Med talen 0 för falsk och 1 för sann och de booleska reglerna 1 + 1 = 1 och 1 ⊕ 1 = 0 fås följande tabeller:

Inklusiv disjunktion p q p eller q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Exklusiv disjunktion p q antingen p eller q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

I en variant av boolesk algebra, där minustecknet införts och där vanliga räkneregler gäller, det vill säga utan specialregler för de matematiska operationerna + och ·, beskrivs de två disjunktionerna med sanningsfunktionerna

p OR q = p + q - p·q

p XOR q = p + q - 2·p·q

med egenskaper enligt tabellen

Inklusiv disjunktion p q p + q - p·q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Exklusiv disjunktion p q p + q - 2·p·q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Tekniska lösningar

I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etcetera kan funktioner som motsvarar disjunktioner realiseras, som i kombination med andra logiska funktioner kan byggas ihop till komplex funktionalitet. Några exempel:

Parallellkoppling

Om till exempel två parallellkopplade brytare seriekopplas med en lampa måste båda brytarna vara från för att lampan ska vara släckt; i annat fall tänds lampan. Detta realiserar en inklusiv disjunktion.

Parallellkoppling

Trappomkastare

En korsad trappomkastare realiserar en exklusiv disjunktion (se bild).

Korsad trappomkastare

OR-grind och XOR-grind

I digitaltekniken realiseras samma funktioner med logiska byggblock, OR-grind respektive XOR-grind. "Värdena" är här signalena "hög" och "låg" som motsvarar bestämda spänningsintervall. Dessa betecknas vanligen med H = high och L = low.

(IEC symbol)

(US symbol)

Inklusiv disjunktion A B A OR B H H H H L H L H H L L L

(IEC symbol)

(US symbol)

Exklusiv disjunktion A B A XOR B H H L H L H L H H L L L

Källor

• P-E Danielsson, Digital teknik, Studentlitteratur, Lund 1974.