Dominerade konvergenssatsen

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$, $f_{n}$ är en följd av funktioner på $X$ som är integrerbara med avseende på $\mu$, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion $f$, vilket kan formuleras som att

$\mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty$

för varje $\varepsilon >0$, och att $|f_{n}|\leq |g|$, där $g$ är en integrerbar funktion, så är $f$ integrerbar och

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0.$

Bevis

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

$\mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Låt $E=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{\,x:f_{n}(x)\neq 0\,\}.$ Då är $E$ en $\sigma$-ändlig mängd, vilket är uppenbart om $\mu$ är ett $\sigma$-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att $f_{n}$ är integrerbara funktioner. Sålunda kan $E$ skrivas som en union

$E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k},$

där $E_{k}\subset E_{k+1}$ och $\mu (E_{k})<\infty$.

Låt $F_{k}=E\setminus E_{k}$. Då är

$\int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \int _{F_{k}}(|f_{m}|+|f_{n}|)\,\mathrm {d} \mu \leq 2\int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu .$

Det följer att det för varje $\varepsilon _{0}>0$ finns ett tal $k_{0}$ sådant att

$\int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{0},\quad k\geq k_{0},$

gäller för varje $m$ och $n$, alldenstund $\int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to 0$, när $k\to \infty$.

Låt $G_{m,n}=\{\,x:|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon _{1}\,\}$. Då är

$\int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{E_{k}\setminus G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{1}\mu (E_{k})+2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu .$

Ur antagandet om funktionerna $f_{n}$ följer att $\mu (G_{m,n})\to 0$ när $m,n\to \infty$. Sålunda finns ett tal $n_{0}$ sådant att

$2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{1},$

gäller för varje $m\geq n\geq n_{0}$. Detta ger nu att

$\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},$

om $m\geq n\geq n_{0}$ och $k\geq k_{0}$. Härav följer att

$\limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},$

och sålunda gäller att

$\limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0},$

eftersom $\mu (E_{k})<0$. Det är nu lätt att se att

$\lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0,$

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när $f_{n}$ konvergerar till $f$ nästan överallt, räcker det att visa att

$\mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Låt

$E_{n}=\bigcup _{k=n}^{\infty }\{\,x:|f_{k}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset \{\,x:g(x)\geq \varepsilon /2\,\}.$

Eftersom $g$ är integrerbar så är $\mu (E_{n})<\infty$ och eftersom $\lim _{n\to \infty }f_{n}=f$ nästan överallt så är $\mu (\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n})=0$. Det följer att $\lim _{n\to \infty }\mu (E_{n})=0$. Enär $\{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset E_{n}$, följer det att

$\mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Detta slutför beviset av satsen.