Hopfinvariant

Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi, är Hopfinvarianten, uppkallad efter Heinz Hopf, en homotopiinvariant av vissa avbildningar mellan sfärer.

Definition

Låt $\phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ vara en kontinuerlig funktion (anta att $n>1$). Då kan vi bilda cellkomplexet

$C_{\phi }=S^{n}\cup _{\phi }D^{2n},$

där $D^{2n}$ är en $2n$-dimensionell disk associerad till $S^{n}$ via $\phi$. De cellulära kedjegrupperna $C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })$ är fritt genererade på $n$-celler i grad $n$, så de är lika med $\mathbb {Z}$ i grad 0, $n$ och $2n$ och noll annars. Cellulär (ko-)homologi är (ko-)homologin av detta kedjekomplex, och eftersom alla randhomomorfier måste vara noll (kom ihåg att $n>1$), är kohomolgin

$H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\phi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\mbox{annars}}.\end{cases}}$

Beteckna generatorerna av kohomologigrupperna med

$H^{n}(C_{\phi })=\langle \alpha \rangle$ and $H^{2n}(C_{\phi })=\langle \beta \rangle .$

För dimensionella orsaker måste alla kupprodukter mellan dessa klasser vara triviala utom $\alpha \smile \alpha$. Följaktligen, som en ring, är kohomologin

$H^{*}(C_{\phi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\phi )\beta \rangle .$

Heltalet $h(\phi )$ är Hopfinvarianten av avbildningen $\phi$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hopf invariant, 5 januari 2015.

• Adams, J.F. (1960), ”On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 72, No. 1) 72 (1): 20–104, doi:10.2307/1970147 
• Adams, J.F.; Atiyah, M.F. (1966), ”K-Theory and the Hopf Invariant”, The Quarterly Journal of Mathematics 17 (1): 31–38, doi:10.1093/qmath/17.1.31 
• Crabb, M.; Ranicki, A. (2006), The geometric Hopf invariant, http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/slides/hopfbeam.pdf 
• Hopf, Heinz (1931), ”Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen 104: 637–665, doi:10.1007/BF01457962, ISSN 0025-5831 
• Shokurov, A.V. (2001), ”Hopf invariant”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104