Hurwitzs zetafunktion

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Hurwitzs zeta-funktion)
Hoppa till: navigering, sök

Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.

Serierepresentation[redigera | redigera wikitext]

En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) =
\sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).


Laurentserie[redigera | redigera wikitext]

Laurentserien för s=1 är:


    \zeta(s,q) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n(q)}{n!}(s-1)^n\qquad\qquad 0<q\le1

där \gamma_n(q) är Stieltjeskonstanterna:


    \gamma_n(q) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n(k+q)}{k+q} - \frac{\log^{n+1} (N+q)}{n+1}\right)\qquad \quad n=0,1,2,\dots

Fourierserie[redigera | redigera wikitext]

\zeta(s,a)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\left(\sin\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}+\cos\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}\right)\qquad\qquad\mathrm{Re}(s)<1\text{ och }0<a\le1

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

\Re s>1 och \Re q >0 kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty
\frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt.

En annan integral är

 \int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!

som gäller för  0<Re(s)<1\!.

Hurwitzs formel[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs formel är teoremet

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

där

\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

är en representation som gäller för 0\le x\le 1 and s > 1. Här är \text{Li}_s (z) polylogaritmen.

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

För alla s och 1\leq m \leq n gäller

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s} {2} - \frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac kn \right).


Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

\zeta(s,-1)=\zeta(s)+1\,
\zeta(s,2)=\zeta(s)-1\,
\zeta(s,0)=\zeta(s,1)\,
\zeta\left(s,\frac mn\right)=\frac1n\sum_{k=1}^nn^s\cdot\mathrm{Li}_s\left(e^{\frac{2\pi\mathrm ik}n}\right)e^{-\frac{2\pi\mathrm i km}n}\qquad\qquad m,n\in\N^+\text{ och }m\le n
\zeta(0,a)=\frac12-a
\zeta(2,\tfrac14)=\pi^2+8G
\zeta(2,\tfrac12+\tfrac x\pi)+\zeta(2,\tfrac12-\tfrac x\pi)=\frac{\pi^2}{\cos^2 x}

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomen[redigera | redigera wikitext]

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

\zeta(-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.

Jacobis thetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Om \vartheta (z,\tau) är Jacobis thetafunktion är

\int\limits_0^\infty \left[\vartheta (z,\mathrm it) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}{t}= 
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left(\frac {1-s}2 \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right] \qquad\qquad \mathrm{Re}(s)>0\text{ och } z\in\C\,\setminus\,\Z.

Specialfall och generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z) \ .

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

\zeta(-n,x) = - \frac{B_{n+1}(x)}{n+1} \ .

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty
\frac { z^k} {(k+q)^s}
\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s;a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1;1) där a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ och }a\notin\N\text{ och }s\in\N^+

samt Meijers G-funktion

\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \; \left| \; \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.\qquad\qquad s\in\N^+.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hurwitz zeta function, 11 oktober 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Hurwitzsche Zeta-Funktion, 15 november 2013.



Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.