Hurwitzs zetafunktion

Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.$

Serierepresentation

En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

Taylorserie

Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

Laurentserie

Laurentserien för $s=1$ är:

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}(q)}{n!}}(s-1)^{n}\qquad \qquad 0<q\leq 1$

där $\gamma _{n}(q)$ är Stieltjeskonstanterna:

$\gamma _{n}(q):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+q)}{k+q}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right)\qquad \quad n=0,1,2,\dots$

Fourierserie

$\zeta (s,a)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)<1{\text{ och }}0<a\leq 1$

Integralrepresentationer

Då $\Re s>1$ och $\Re q>0$ kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

$\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt.$

En annan integral är

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!$

som gäller för $0<Re(s)<1\!$.

Hurwitzs formel

Hurwitzs formel är teoremet

$\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

där

$\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

är en representation som gäller för $0\leq x\leq 1$ and s > 1. Här är ${\text{Li}}_{s}(z)$ polylogaritmen.

Funktionalekvation

För alla $s$ och $1\leq m\leq n$ gäller

$\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right).$

Speciella värden

$\zeta (s,-1)=\zeta (s)+1\,$

$\zeta (s,2)=\zeta (s)-1\,$

$\zeta (s,0)=\zeta (s,1)\,$

$\zeta \left(s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}n^{s}\cdot \mathrm {Li} _{s}\left(e^{\frac {2\pi \mathrm {i} k}{n}}\right)e^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} km}{n}}}\qquad \qquad m,n\in \mathbb {N} ^{+}{\text{ och }}m\leq n$

$\zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a$

$\zeta (2,{\tfrac {1}{4}})=\pi ^{2}+8G$

$\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})+\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})={\frac {\pi ^{2}}{\cos ^{2}x}}$

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner

Bernoullipolynomen

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

$\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}.$

Jacobis thetafunktion

Om $\vartheta (z,\tau )$ är Jacobis thetafunktion är

$\int \limits _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,\mathrm {i} t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)>0{\text{ och }}z\in \mathbb {C} \,\setminus \,\mathbb {Z} .$

Specialfall och generaliseringar

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

$\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .$

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

$\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

$\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,$

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$ där $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ och }}a\notin \mathbb {N} {\text{ och }}s\in \mathbb {N} ^{+}$

samt Meijers G-funktion

$\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hurwitz zeta function, 11 oktober 2013.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Hurwitzsche Zeta-Funktion, 15 november 2013.