Isometri

En isometri är inom matematiken en funktion från ett metriskt rum till ett annat, som uppfyller vissa krav.

En funktion $f$ från ett metriskt rum $(X,d_{X})$ till ett annat metriskt rum $(Y,d_{Y})$ säges vara en isometri om den är avståndsbevararande, dvs

$d_{X}(x,y)=d_{Y}(f(x),f(y))~\forall x,y\in D_{f}$.

En linjär avbildning från ett normerat rum till ett annat normerat rum, $F:V\to W$, sägs vara en linjär isometri om den bevarar normen:

$\|Fv\|_{W}=\|v\|_{V}$

då $v\in V$ och $\|\cdot \|_{V}$ och $\|\cdot \|_{W}$ är normerna i V respektive W..

Exempel

I det Euklidiska planet utgörs alla isometrier av identitetsavbildningen, translationer, rotationer, speglingar och glidspeglingar. I detta fall gäller

$|x-y|=|f(x)-f(y)|~\forall x,y\in \mathbb {R} ^{2}$

Allmänt representerar alla ortogonalmatriser och unitära matriser isometrier. Alla isometrier mellan ett vektorrum bildar den euklidiska gruppen. Alla linjära isometrier bildar ortogonalgruppen.