Linjär avbildning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en linjär avbildning (även kallad linjär transformation och linjär operation) en särskild sorts avbildning mellan två vektorrum.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En linjär avbildning  F är en avbildning som uppfyller följande för vektorer  x, y och skalärer  \alpha, \beta :

  • \ F(\alpha x) = \alpha F(x)
  • \ F(x + y) = F(x) + F(y)

Dessa två krav skrivs ibland ihop till ett krav:

  • \ F(\alpha x + \beta y) = \alpha F(x) + \beta F(y)

En direkt följd av definitionen är att  F(0) = 0 om  F är en linjär avbildning.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på linjära avbildningar är:

Exempel på avbildningar som inte är linjära är:

  • För reella tal:  x \mapsto x^2 och  x \mapsto x + 1 . Ibland missuppfattas den senare avbildningen som "linjär", därför att dess funktionsgraf är en linje. Denna egenskap gör dock bara funktionen till en affin avbildning.)

Avbildningsmatriser[redigera | redigera wikitext]

Som nämnts ovan kan matriser representera avbildningar. Här är några exempel på avbildningar A: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2:


A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
  • Skalning två gånger i alla riktningar:

A =
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2 
\end{pmatrix}
  • Rotation med vinkeln  \phi moturs:

A=
\begin{pmatrix}
\cos(\phi) & -\sin(\phi)\\
\sin(\phi) & \cos(\phi)
\end{pmatrix}

A =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Linjära transformationer användas bland annat för att skapa linjära fraktaler som till exempel von Kochs kurva. För att genomföra detta så brukas ett itererat funktionssystem (IFS) som består av två eller flera linjära transformationer av samma eller olika typ.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.