Ortogonalgrupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En ortogonalgrupp är ett matematisk begrepp inom linjär algebra. Ortogonalgruppen är en grupp bestående av linjära avbildningar med egenskapen att de bevarar skalärprodukten. Ortogonalgruppen är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp (O(n),\circ) där

  • mängden O(n)\, är definierad som:
O(n) := \{ g : \R^n \rightarrow \R^n \ \mbox{linjär} \ | \ g(x) \cdot g(y) = x \cdot y \ \mbox{för alla} \ x,y \in \R^n \} ,

dvs funktioner g \in O(n) bevarar skalärprodukten och

  • gruppoperationen \circ : O(n) \times O(n) \rightarrow O(n) är definierad som:
(f \circ g)(x) := f(g(x)) för alla x \in \R^n och f,g \in O(n),

dvs gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Likvärdiga definitioner[redigera | redigera wikitext]

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Isometrier[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Isometri

Mängden O(n)\, kan också ses som alla linjär isometrier \R^n \rightarrow \R^n. Mer precist,

O(n) = \{ g : \R^n \rightarrow \R^n \ \mbox{linjär} \ | \ |g(x) - g(y)| = |x - y| \ \mbox{för alla} \ x,y \in \R^n \} ,

dvs funktioner g \in O(n) bevarar avstånden.

Ortogonalmatriser[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Ortogonalmatris

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar \R^n \rightarrow \R^n och matriser av storlek n\times n så kan man se mängden O(n)\, som alla ortogonalmatriser av storlek n\times n. Mer precist,

O(n) = \{A \in \R^{n\times n} : A^TA = AA^T = I\} \,

då gruppoperationen är matrismultiplikation.

Speciella ortogonalgruppen[redigera | redigera wikitext]

Alla matriser i A \in O(n) \, har egenskapen att

\det A = \pm 1

Om man tar alla matriser A \in O(n) \, med

\det A = 1\,

får man en normal undergrupp som kallas den speciella ortogonalgruppen, betecknad SO(n) \,.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ortogonalgruppen har några egenskaper.

Lokalt kompakt topologisk grupp[redigera | redigera wikitext]

Ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp eftersom det är ett metriskt rum vars topologi är lokalt kompakt. Metriken är

d(f,g) := \sup_{|x| = 1} |f(x) - g(x)|\,

för alla f,g \in O(n).\,

Måttstruktur[redigera | redigera wikitext]

Eftersom ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp finns ett unikt Haarmått i O(n) som ofta betecknas

\theta_n : \mbox{Bor}\,O(n) \rightarrow [0,\infty],

där \mbox{Bor}\,O(n) är Borelalgebran i ortogonalgruppen O(n). Det här måttet kallas ofta ett vridningsinvariant mått.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.