Enkel funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Exempelvis är stegfunktioner enkla funktioner.

En enkel funktion är inom matematisk analys en funktion som endast antar ett ändligt antal värden. Ett enkelt exempel är takfunktionen på intervallet  [0, 9] som endast antar värden  \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} . Ett annat exempel är Dirichlets funktion som endast antar värden 0 (för irrationella tal) och 1 (för rationella tal). Enkla funktioner används i första stadiet av konstruktionen av exempelvis Lebesgueintegralen, då det är väldigt lätt att integrera över en enkel funktion.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En enkel funktion kan uttryckas som en linjärkombination av indikatorfunktioner,  \chi_{A_k} , av mätbara mängder. Om  (X, F) är ett mätbart rum,  A_1, A_2, ..., A_n är en följd av mätbara mängder och  a_1, a_2, ..., a_n en följd av tal, är

 f(x) = \sum_{k=1}^n a_k \chi_{A_k}(x)

en enkel funktion.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Summor, skillnader och produkter av enkla funktioner är återigen enkla funktioner, så att mängden av alla enkla funktioner bildar en kommutativ algebra över en kropp.

För varje icke-negativ mätbar funktion f från ett måttrum X till de reella talen existerar det en följd av enkla funktioner  0 \leq s_1 \leq s_2 \leq ... \leq f så att

s_n(x) \to f(x)

likformigt när  n \to \infty .

Integration[redigera | redigera wikitext]

Om  (X, F, \mu) är ett måttrum, så är integralen av en enkel funktion  f med avseende på  \mu :

 \int f\, d\mu = \sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)

om alla summander är ändliga.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.