Matrisnorm

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet K_{m,  n}, då  K är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen.  A och  B är matriser i  K_{m, n} :

  • \|A\|\ge 0 med likhet om och endast om A=0
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\| för alla \alpha \in K
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\|

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

\|AB\| \leq \|A\|\|B\|

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer[redigera | redigera wikitext]

Om normer för  K^m och  K^n är givna (då  K är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

\|A\| = \max \{\|Ax\|: x \in K^n, \|x\| \leq 1 \} = \max  \{\|Ax\|: x \in K^n, \|x\| = 1 \} = \max  \{\frac{\|Ax\|}{\|x\|}: x \in K^n, \|x\| \neq 0 \}

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

\|A\|_p = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}

Om  p = 1 eller  p = \infty kan normen beräknas som:

\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^m |a_{ij}|, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)
\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j = 1}^n |a_{ij}|, den största radsumman.

Om  p = 2 och  m = n kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen  A^* A :

\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^*A)},

där  A^* är det hermiteska konjugatet till  A .

Elementvisa normer[redigera | redigera wikitext]

För matriser i  K_{m, n} :

Frobeniusnormen[redigera | redigera wikitext]

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}{(A^* A)}}

Där tr är matrisspåret och  A^* betecknar  A :s hermiteska konjugat.

P-normen[redigera | redigera wikitext]

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

\|A\|_p = (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p)^{1/p}

Maximalnormen[redigera | redigera wikitext]

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

 \|A\|_{max} = \operatorname{max}{|a_{ij}|}.