Matrisnorm

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet $K_{m, n}$, då $K$ är en kropp, t.ex. de reella eller komplexa talen. $A$ och $B$ är matriser i $K_{m, n}$:

• $\|A\|\ge 0$ med likhet om och endast om $A=0$
• $\|\alpha A\|=|\alpha| \|A\|$ för alla $\alpha \in K$
• $\|A+B\| \le \|A\|+\|B\|$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

$\|AB\| \leq \|A\|\|B\|$

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer

Om normer för $K^m$ och $K^n$ är givna (då $K$ är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

$\|A\| = \max \{\|Ax\|: x \in K^n, \|x\| \leq 1 \} = \max \{\|Ax\|: x \in K^n, \|x\| = 1 \} = \max \{\frac{\|Ax\|}{\|x\|}: x \in K^n, \|x\| \neq 0 \}$

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

$\|A\|_p = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}$

Om $p = 1$ eller $p = \infty$ kan normen beräknas som:

$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^m |a_{ij}|$, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)

$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j = 1}^n |a_{ij}|$, den största radsumman.

Om $p = 2$ och $m = n$ kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen $A^* A$:

$\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^*A)}$,

där $A^*$ är det hermiteska konjugatet till $A$.

Elementvisa normer

För matriser i $K_{m, n}$:

Frobeniusnormen

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

$\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}{(A^* A)}}$

Där tr är matrisspåret och $A^*$ betecknar $A$:s hermiteska konjugat.

P-normen

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

$\|A\|_p = (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p)^{1/p}$

Maximalnormen

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

$\|A\|_{max} = \operatorname{max}{|a_{ij}|}$.