Absolutbelopp

Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal

Absolutbeloppet motsvaras av ett tals avstånd till noll, (eller origo), oavsett dess riktning. Den röda vektorn pekar på ett tal vars absolutbelopp är lika stort som samtliga tal på den gröna cirkeln.

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

$|x|=\left\{\begin{matrix} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{matrix}\right.$

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av

$|z| = \sqrt{zz^*}= \sqrt{a^2 + b^2}$

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$

Längden av en vektor kallas dock ofta dess norm och betecknas $||\mathbf{\bar{v}}||$.

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att

1. $|a|\geq 0$
2. $|a|=0 \Leftrightarrow a=0$
3. $|ab|=|a||b|\,$
4. $\left|\frac{a}{b} \right|=\frac{|a|}{|b|}$
5. $|a+b| \leq |a|+|b|$ (triangelolikheten)
6. $|a-b|\geq ||a|-|b||$ (omvända triangelolikheten)
7. $|a|=\sqrt{aa^*}$, där $a^*$ är det komplexkonjugerade värdet av $a$

Om a och b är reella gäller även

8. $|a|\leq b \Leftrightarrow -b\leq a \leq b, b\geq 0$

Exempel

$\ |5| = 5$

$\ |-5| = 5$

$\ |1+i| = \sqrt{2}$

Se även

• Norm (matematik)