Inre produktrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett inre produktrum är i matematik ett vektorrum som har ytterligare struktur genom att en inre produkt (kallas också skalärprodukt) är definierad, vilket gör det möjligt att införa geometriska begrepp såsom vinklar och normen för vektorer.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. K kommer i fortsättningen antingen vara \mathbb{R} eller \mathbb{C}. V är nu ett inre produktrum om det finns en funktion

 \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{K}

kallad inre produkt som är

 \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} \quad \forall x,y \in V

detta innebär till exempel att  \langle x, x \rangle \in \mathbb{R}

 \langle x, x\rangle \geq 0, \langle x, x\rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad \forall x \in V

eftersom  \langle x, x \rangle \in \mathbb{R} är detta väldefinierat.

\langle x_1 + x_2, y \rangle = \langle x_1, y \rangle + \langle x_2, y \rangle \quad \forall x,y \in V

och

 \langle cx, y \rangle = c\langle x, y \rangle \quad \forall x,y \in V \quad \forall c \in K,

Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.

Om \langle x, y \rangle = 0 sägs x och y vara ortogonala. Detta betecknas ofta som  x \perp y .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Reella rum[redigera | redigera wikitext]

I det ändligtdimensionella rummet \mathbb{R}^n bestående av alla reella n-tipler kan man införa den vanliga skalärprodukten som inre produkt, så om  x, y är element i \mathbb{R}^n:

 \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_ky_k

Eller, uttryckt som matrismultiplikation:

 \langle x, y \rangle = y^Tx

Där  y^T är  y transponerat.

Komplexa rum[redigera | redigera wikitext]

Om n-tiplarna istället är komplexa så ges en inre produkt av:

\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k} = y^Hx

Där  y^H är det hermiteska konjugatet av  y och  \overline{y_k} är det komplexa konjugatet av  y_k .

En allmännare form för en inre produkt för \mathbb{C}^n är:

\langle x, y \rangle = y^HMx

Där  M är en positivt definit matris. Detta gäller även för reella rum, då det hermiteska konjugatet blir transponat.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Det oändlighetsdimensionella (det vill säga, har ej någon ändlig bas) funktionsrummet C[a, b] av alla reella funktioner som är kontinuerliga på intervallet [a,b] har en inre produkt:

 \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, d x

 f, g \in C[a, b] .

Med hjälp av inre produkten kan normen av f definieras:

\| f\| = \langle f,f\rangle ^\frac{1}{2} = (\int_{a}^{b}f(x)^2 dx)^\frac{1}{2}

Normen kan ses som en slags längd av f.

\| f-g\|

kan kallas avståndet mellan "punkterna" f och g.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det är lätt att visa att funktionen  \| \cdot \|: \mathbf{V} \rightarrow \mathbb{R} sådan att  \|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle} är en norm på V. Om  \mathbf{V} är fullständigt med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas  \mathbf{V} för ett Hilbertrum.

För ett inre produktrum gäller följande välkända satser:

 |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \ \|y\|
Likhet gäller om och endast om x och y är linjärt beroende.
 \|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x + y\|^2 \,
 \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|
Likhet gäller om och endast om Cauchy-Schwarz olikhet är en likhet.
 \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\left(\|x\|^2 + \|y\|^2\right)

Baser i inre produktrum[redigera | redigera wikitext]

En bas  \{e_i\}_{i \in I} för ett inre produktrum sägs vara en ortonormal bas (eller ON-bas; även termen ortogonal bas kan förekomma i denna mening) om det för alla element i basen gäller att  \langle e_i, e_j\rangle = 0 om  i \neq j och  \langle e_i, e_i\rangle = 1 för alla i. Givet en bas för ett ändligtdimensionellt inre produktrum  \mathbf{V} kan en ortonormal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.