Sannolikhetsrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt \Omega\, vara en icke-tom mängd och \mathcal{F} en sigma-algebra i \Omega\,. En funktion \mathbb{P} : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1] är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran \mathcal{F} om den besitter de två egenskaperna:

  • Funktionen \mathbb{P} är ett mått
  • \mathbb{P}(\Omega) = 1 .

Ett sannolikhetsrum är en trippel (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). \Omega\, är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, A \subseteq \Omega, på ett reellt tal, \mathbb{P}(A) (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}\, ,

där n \in \N och sannolikhetsmåttet är \mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \longrightarrow [0,1],

\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{n},

där |A| är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om (X,\mathcal{F},\mu) är ett måttrum där \mu(X) < \infty kan man definiera ett sannolikhetsmått \mathbb{P}_\mu : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1],

\mathbb{P}_\mu (A) := \frac{\mu(A)}{\mu(X)}.

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet \mu\, är en trippel (X,\mathcal{F},\mathbb{P}_\mu).

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om |X| < \infty, \mathcal{F} = \mathcal{P}(X) och \mu = |\cdot| \, (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) vara ett sannolikhetsrum och X : \Omega \longrightarrow \R en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

(\R,\mbox{Bor}\,\R,\mathbb{P}_X)\, ,

där

\mathbb{P}_X := X_\# \mathbb{P}\, ,

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är \mathbb{P}:s bildmått X_\# \mathbb{P} med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar[redigera | redigera wikitext]

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Stokastisk variabel

Stokastik variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) vara ett sannolikhetsrum. En funktion X : \Omega \longrightarrow \R är en stokastisk variabel om

X^{-1} (B) \in \mathcal{F} för alla Borelmängder B \in \mbox{Bor} \R .

Detta innebär att en funktion X\, är \mathcal{F}-mätbara.

Väntevärde[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastik variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) vara ett sannolikhetsrum. Om X : \Omega \longrightarrow \R är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

\mathbb{E}(X) := \int\limits_\Omega\,X\,d\mathbb{P}.

Här är \int d\mathbb{P} en måttintegral med avseende på måttet \mathbb{P}.

Varians och kovarians[redigera | redigera wikitext]

Huvudartiklar: Varians och Kovarians

Man kan definiera en varians och en konvarians med väntevärde.

Variansen för ett stokastisk variabel X : \Omega \longrightarrow \R, med \mathbb{E}(X^2) < \infty, är talet

\mathbb{D}^2 (X) := \mathbb{E}(X - \mathbb{E}(X))^2,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler X,Y : \Omega \longrightarrow \R är ett tal

\mbox{Cov}(X,Y) := \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))].

Konvergenssatser[redigera | redigera wikitext]

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

  • Om  A_1  \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq ... är händelser så är
 \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_i) .
  • Om  B_1  \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq ... är händelser så är
 \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^\infty B_i\right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mathbb{P} (B_i) .

Fatous lemma: om (X_n)_{n\in \N} är stokastiska variabler får man att

 \mathbb{E} (\liminf_{n \rightarrow \infty} X_n ) \leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).

Monotona konvergenssatsen: om (X_n)_{n\in \N} är stokastiska variabler med  \mathbb{P}(\{X_1 \leq X_2 \leq ...\}) = 1 finns det \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n) och

 \mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).

Dominerade konvergenssatsen: om (X_n)_{n\in \N} och X\, är stokastiska variabler med \mathbb{P}(\{ |X_n| \leq X \}) = 1 för alla n \in \N och \mathbb{E}(X) < \infty finns det \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n) och

 \mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.