Värmeledningsekvationen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas:

\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \nabla^2 u,

där \frac{\partial u}{\partial t} betecknar förändringshastigheten hos funktionen u(\mathbf{r},t) med avseende på tiden, och \nabla^2 betecknar laplaceoperatorn.

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum. Funktionen u(\mathbf{r},t) betecknar då temperaturen i mediet och k är en konstant som beror av materialets värmeledningsförmåga, densitet och värmekapacitet.

Den endimensionella värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

Det homogena fallet[redigera | redigera wikitext]

Låt funktionen u(x,t) betckna värmen i punkten x vid tidpunkten t. Vi kan då beskriva u(x,t) med hjälp av värmeledningsekvationen:

 \frac{\partial u}{\partial t} - k \cdot \nabla^2u=0

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd l som ligger längs x-axeln. Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.


Normal praxis är också att man brukar införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges då av:

 u(x,0) = f(x), 0<x<l


vi låter värmen i stavens ändpunkter x=0 och x=l ges av funktionerna h(t) och g(t). Vad gäller randvillkoren brukar de vara av typen dirichletvillkor och vi kan beskriva de enligt följande:

 u(0,t) = h(t), t>0
 u(l,t) = g(t), t>0


men givetvis finns det andra villkor man kan införa t.ex. Neumannvillkor.



Det inhomogena fallet[redigera | redigera wikitext]

Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen v(x,t) betecknar den tillförda värmen till staven i punkten x vid tidpunkten t. Funktionen u(x,y) beskrivs då av:

 \frac{\partial u}{\partial t} - k \cdot \nabla^2u=v(x,t)


Den n-dimensionella värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det n+1 oberoende variabler nämligen x_1, x_2,…,x_n och tiden t och en beroende variabel u = u(t, x_1, x_2,…,x_n) som lyder under ekvationen

 \frac{\partial u}{\partial t} = k \sum_{ i \mathop =1}^n \frac{\partial^2 u}{(\partial x_i)^{2}}

Lösningar till värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till u(x,t) är på formen u(x,t)=X(x)T(t).

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut

 u'_t=u''_{xx} \Leftrightarrow X(x)T'(t)=X''(x)T(t) \Leftrightarrow \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{T(t)} .

Varken höger- eller vänsterledet är beroende av x eller t därför måste de vara lika med någon konstant \lambda:

 \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda och \frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda

Som vi kan skriva om som:

 X''(x) = \lambda X(x) resp.  T'(t) = \lambda T(t)


Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till diffrentialekvationerna med dirchletvillkoren  u(0,t)=u(l,t)=0. Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en en stav till 0


F(x) kommer få tre olika typer av lösningar beroende på värden av \lambda:

(1) För \lambda<0 d.v.s. \lambda = -\gamma^2<0 ges lösningarna av
X(x) = Acosh(\gamma x)+Bsinh(\gamma x):
Randvillkoren ger oss då:
X(0) = 0 \Rightarrow A=0
X(l)=0 \Rightarrow B = 0

Alltså existerar inga negativa egenvärden.


(2) För \lambda=0 ges lösningarna av.
 X(x) = Ax+B
Randvillkoren ger oss då:
X(0) = 0 \Rightarrow A=0
X(l)=0 \Rightarrow B = 0
Den enda lösningen vi får är  X(x) = 0 och enligt definitionen av en egenfunktion är därför \lambda = 0 inte ett egenvärde.


(3) För \lambda>0 d.v.s. \lambda = \beta^2>0 ges lösningarna av:
 X(x) = Acos(\beta x)+Bsin(\beta x)
Randvillkoren ger oss då:
X(0) = 0 \Rightarrow A=0
X(l)=0 \Rightarrow sin(\beta l) = 0 \Rightarrow \beta=\frac{n \pi}{l} där nZ+

Vi har nu de positiva egenvärdena

 \lambda_n = (\frac{n \pi}{l})^{2}


med de tillhörande egenfunktionerna

 X_n(x) = B_n sin(\frac{n \pi}{l}x)

Vi har tagit fram att \lambda_n = -\beta_n^2=\frac{-n^2 \pi^2}{l} så vad gäller lösningar till \frac{T'(t)}{T(t)}= -\lambda ser vi att de ges av T_n(t)=Ce^{-\beta_n^2 t} = Ce^{- (\frac{n \pi}{l})^{2} t}

Med detta får vi nu tillslut lösningarna

 u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t) = B_n sin(\frac{n \pi}{l}x) e^{(\frac{n \pi}{l})^{2} t}


Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap4.pdf
http://www.mai.liu.se/~halun/kurser/TATA51/variabelseparation2010.pdf
http://www.cmi.ac.in/~vipul/studenttalks/theheatequation.pdf
http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/heateqn.pdf

Se även[redigera | redigera wikitext]