Partiell differentialekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Tillämpning av Navier-Stokes ekvationer för att simulera ett luftflöde runt ett hinder

En partiell differentialekvation, PDE, är en differentialekvation för en funktion vars värde beror av flera variabler, till skillnad från en ordinär differentialekvation som beror av en enskild variabel.

Partiella differentialekvationer används vanligen för att beskriva fysikaliska fenomen, ofta för skalär- eller vektorfält som är beroende av en ortsvektor och ibland tid. Dit hör Laplaces ekvation, Poissons ekvation, värmeledningsekvationen, vågekvationen, Schrödingerekvationen och Maxwells elektromagnetiska ekvationer.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En partiell differentialekvation (PDE) för funktionen u(x_1, \ldots, x_n) är en ekvation av formen

F \left (x_1, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \ldots, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}, \ldots \right) = 0

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Linjära andra ordningens partiella differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Partiella differentialekvationer kan delas in i linjära och icke-linjära precis som ordinära differentialekvationer. Här presenteras några klassiska exempel på linjära andra ordningens PDE:er.

 \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}


\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}


\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = f(x,y)

Specialfallet där f(x,y) = 0 kallas även Laplaces ekvation.

u_{xx} =xu_{yy}.

Andra ekvationer[redigera | redigera wikitext]

u_t \, = u^3u_{xxx}.

Lösning[redigera | redigera wikitext]

Partiella differentialekvationer kan lösas med algebra i vissa enkla fall. Numerisk lösning av differentialekvationer kan utföras med bland annat finita elementmetoden.

Lösningen anpassas efter begynnelsevärden och randvärden.

Många lösningsmetoder bygger på funktionalanalys.

Integraltransformationer[redigera | redigera wikitext]

En integraltransformation kan transformera en partiell differentialekvation till en enklare sådan, exempelvis en separabel. Ett viktigt exempel är Fourieranalys som diagonaliserar värmeekvationen genom att använda egenbasen av sinusoidiska vågor.

Variabelbyte[redigera | redigera wikitext]

Ibland kan en PDE reduceras till en annan sådan med känd lösning med ett lämpligt variabelbyte. Exempelvis kan Black–Scholes-ekvation

 \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

kan reduceras till värmeledningsekvationen

 \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

med variabelbytet

 V(S,t) = K v(x,\tau)
 x = \ln\left(\tfrac{S}{K} \right)
 \tau = \tfrac{1}{2} \sigma^2 (T - t)
 v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).

Andra lösningsmetoder[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]