Partiell differentialekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En partiell differentialekvation, PDE, är en differentialekvation för en funktion vars värde beror av flera variabler, till skillnad från en ordinär differentialekvation som beror av en enskild variabel.

Partiella differentialekvationer används vanligen för att beskriva fysikaliska fenomen, typiskt för skalär- eller vektorfält som är beroende av ortsvektor och ibland tid. Dit hör Laplaces ekvation, Poissons ekvation, värmeledningsekvationen, vågekvationen, Schrödingerekvationen och Maxwells elektromagnetiska ekvationer.

Exempel på linjära andra ordningens partiella differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Partiella differentialekvationer kan delas in i linjära och icke-linjära precis som ordinära differentialekvationer. Här presenteras några klassiska exempel på linjära andra ordningens PDE:er.

 \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}


\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}


\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = f(x,y)

Specialfallet där f(x,y) = 0 kallas även Laplaces ekvation.

Lösning[redigera | redigera wikitext]

Partiella differentialekvationer kan lösas med algebra i vissa enkla fall. Numerisk lösning av differentialekvationer kan utföras med bland annat finita elementmetoden.

Lösningen anpassas efter begynnelsevärden och randvärden.

Många lösningsmetoder bygger på funktionalanalys.

Exempel på lösningsmetoder[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]