Weierstrass majorantsats

Weierstrass majorantsats är inom matematiken en sats uppkallad efter Karl Weierstrass. Satsen används för att avgöra om en funktionsserie konvergerar likformigt.

Antag att $(f_{n})$ är en följd av reella eller komplexa funktioner definierade på en mängd A. Om det finns en talföljd $(M_{n})$ så att:

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

för alla x i A och $n\geq 1$.

Om talserien $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konvergerar så följer det att funktionsserien $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ konvergerar likformigt på A.

Bevis

Eftersom $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konvergerar så konvergerar även $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ punktvis för alla x till någon funktion f(x) (enligt jämförelsetestet).

Serien konvergerar likformigt till f om:

$\lim _{k\to \infty }\left\|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=0$

Där $\|\cdot \|$ betecknar supremumnormen. Man får då att:

$\left\|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=\left\|\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right\|=$

$=\left\|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right\|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\|f_{n}(x)\|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}\rightarrow 0$ då $k\rightarrow \infty$

vilket visar den likformiga konvergensen.

Källor

Funktionsföljder och serier, Lennart Hellström, Februari 2002