Supremumnormen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Supremumnormen, även kallad Chebyshevnormen eller informellt oändlighetsnormen, är inom matematisk analys en norm för funktioner. Normen tilldelar ett reellt positivt tal till en reell eller komplex funktion. Förenklat kan man säga att supremumnormen mäter "storleken" på en funktion.

Definition och användning[redigera | redigera wikitext]

Låt X vara en mängd och \R^X := \{f | f : X \rightarrow \R\}. Supremumnormen för  f \in \R^X är talet

\| f \|_\infty := \sup \{ |f(x)|: x \in X \}.

Fast \| \cdot \|_\infty kallas supremumnormen är detta inte alltid en norm i \R^X\,. T. ex. om  X = \R vi har

\| x \mapsto x \|_\infty = \infty

men normen måste vara ändlig. Så man får istället definiera mängden av alla begränsade funktioner:

\mathcal{B}(X,\R) := \{ f \in \R^X : \| f \|_\infty < \infty\}

då supremumnormen är en norm, dvs paret (\mathcal{B}(X,\R), \| \cdot \|_\infty) är ett normerat rum. Det här är ett resultat från absolutbeloppets egenskaper.

Man kan inducera en metrik från supremumnormen som mäter avståndet mellan två begränsade funktioner:

d(f,g) := \| f - g\|_\infty .

Så att en följd av funktioner, (f_n), konvergerar likformigt till en funktion  f om och endast om

\lim_{n \rightarrow \infty} \| f_n - f \|_\infty = 0.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Element x i  \R^2 med  \|x\|_\infty = k , där k är en konstant.
  • Om  X = \{1,2,...,n\} \, , för  n \in \N , så är \R^X = \R^n. Så att supremum kan ersättas med maximum: \| x \|_\infty = \max \{ |x_i| : i \in \{1,2,...,n\} \} för x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \R^n och (\R^n, \| \cdot \|_\infty) är ett normerat rum.

Väsentlig supremumnorm[redigera | redigera wikitext]

Om vi har en måttstruktur i X vi kan generalisera supremumnormen. Låt  (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum och

 \mathcal{M}(X,\R) := \{f \in \R^X : f \mbox{ är } \mathcal{F}\mbox{-mätbara} \}.

väsentliga supremumnormen för  f \in \mathcal{M}(X,\R) är

\| f \|_\infty^\operatorname{ess} := \operatorname{ess}\sup |f| = \inf \{ r \in \R : \mu (\{ x \in X : |f(x)| > r \}) = 0 \}.

där  \operatorname{ess} \sup är väsentligt supremum.

Normerade och seminormerade rum med väsentliga supremumnormen[redigera | redigera wikitext]

Några egenskaper för väsentliga supremumnormen är:

  • \| f \|_\infty^\mathrm{ess} \leq \| f \|_\infty,
  • \| af \|_\infty^\mathrm{ess} = |a|\| f \|_\infty^\mathrm{ess} och
  • \| f+g \|_\infty^\mathrm{ess} \leq \| f \|_\infty^\mathrm{ess}+\| g \|_\infty^\mathrm{ess}

för alla f,g \in \mathcal{M}(X,\R) och a \in \R. Detta ger att (\mathcal{B} (X,\R)\cap \mathcal{M}(X,\R), \| \cdot \|_\infty^\mathrm{ess}) är ett (seminormerat rum.

Seminormen \| \cdot \|_\infty^\mathrm{ess} är inte en norm eftersom det finns funktioner som inte är nollfunktionen men som har en väsentligt supremumnorm som är noll, om exempelvis  (X,\mathcal{F},\mu) = (\R,\mathrm{Leb }\R,\mathcal{L}_1) får man att

\| \chi_\N \|_\infty^\mathrm{ess} = 0

där \chi_\N är indikatorfunktionen för de naturliga talen. Resultatet ovan fås då \mathcal{L}_1 (\N) = 0 men

\chi_\N \neq \mathbf{0}.

Men man kan definiera en ekvivalensrelation i \mathcal{B} (X,\R)\cap \mathcal{M}(X,\R) genom att

f\sim g \, om och endast om \| f \|_\infty^\mathrm{ess} = \| g \|_\infty^\mathrm{ess}

och definiera väsentliga supremumnormen för ekvivalensklasser

\| f^\sim \|_\infty^\mathrm{ess} := \| f \|_\infty^\mathrm{ess}

där  f^\sim är ekvivalensklassen med representant f:

f^\sim := \{g \in \mathcal{B} (X,\R)\cap \mathcal{M}(X,\R) : f \sim g \}.

Med denna struktur fås att (\mathcal{B} (X,\R)\cap \mathcal{M}(X,\R) / \sim, \| \cdot \|_\infty^\mathrm{ess}) är ett normerat rum.

En fördel med väsentliga supremumnormen är att man kan få med fler funktioner i sitt normerade rum, då det finns måttrum (X,\mathcal{F},\mu) och funktioner f \in \mathcal{M}(X,\R) som har \| f \|_\infty^\mathrm{ess} < \infty men \| f \|_\infty = \infty.

Till exempel, om  (X,\mathcal{F},\mu) = (\R,\mathrm{Leb }\R,\mathcal{L}_1) får man att

\| \mathbf{1}_\N \cdot \exp \|_\infty^\mathrm{ess} = 0

eftersom \mathcal{L}_1 (\N) = 0 men

\| \mathbf{1}_\N \cdot \exp \|_\infty = \infty

eftersom \exp(n) \rightarrow \infty när n \rightarrow \infty.

Följaktligen kan man generalisera \mathcal{B}(X,\R)\cap \mathcal{M}(X,\R). Låt

L^\infty = L^\infty (X,\mathcal{F},\mu) := \{ f \in \mathcal{M}(X,\R) : \| f \|_\infty^\mathrm{ess} < \infty\}.

Så att

\mathcal{B}(X,\R) \cap \mathcal{M}(X,\R) \subset L^\infty

och (L^\infty, \| \cdot \|_\infty^\mathrm{ess}) är ett seminormerat rum. Man kan transformera (L^\infty, \| \cdot \|_\infty^\mathrm{ess}) till ett normerat rum med ekvivalensrelationen \sim \, ovan.

Relation till andra normer[redigera | redigera wikitext]

Om f är en funktion så att \|f\|_p < \infty \, och \|f\|_\infty^\text{ess} < \infty så gäller att

\lim_{q\to \infty} \|f\|_q = \|f\|_\infty^\text{ess}.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt q vara större än p.

\|f\|_q = \left(\int |f|^q \right)^{1/q} = \left(\int |f|^p |f|^{q-p} \right)^{1/q}

Eftersom q-p > 0 så är detta mindre än

\left(\int |f|^p \|f\|_\infty^{q-p} \right)^{1/q} = \|f\|_\infty^{1-p/q} \left(\int |f|^p \right)^{1/q}

Eftersom 1 - p/q > 0 så är detta mindre än

\|f\|_\infty \left(\int |f|^p \right)^{1/q} \to \|f\|_\infty när q\to\infty\,

För den omvända olikheten, definiera E = \{x|f(x)>a\}\,. Då är

\|f\|_q \ge \left(\int_E |f|^q \right)^{1/q} \ge a \mu(E)^{1/q} \to a när q\to\infty\,.

Detta gäller för alla a < \|f\|_\infty.