Likformig konvergens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken sägs en följd av funktioner fi: RnRm konvergera likformigt mot en funktion f på en mängd I om följande villkor uppfylls:

  • För varje ε > 0 så finns ett N ∈ R så att för alla x ∈ I så gäller att n > N medför |fn(x) - f(x)| < ε

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

  • För varje x ∈ I och ε > 0 så finns ett N ∈ R så att n > N medför |fn(x) - f(x)| < ε

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  1. Följden f_n=\frac{\sin x}{n} konvergerar likformigt mot 0 på R.
  2. Följden f_n=\frac{x}{n} konvergerar mot 0 för alla x i R, men inte likformigt
  3. Följden f_n=x^n konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen g på intervallet [0,1] där g är funktionen som har värdet 1 i punkten 1 och värdet 0 annars.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion f som är gränsvärdet av en följd fi utifrån egenskaper hos funktionerna fi. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. Som exempel 3 ovan visar behöver detta inte vara sant så följden inte konvergerar likformigt.

Ofta används supremumnormen för att avgöra likformig konvergens, då man först bestämmer det punktvisa gränsvärdet f av en funktionsföljd fn och sedan kontrollerar att konvergensen är likformig genom att kontrollera gränsvärdet:

\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_\infty = \lim_{n \to \infty} \sup_t |f_n(t) - f(t)|

som ska vara 0 om konvergensen är likformig.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet[redigera | redigera wikitext]

Om vi har en funktionsföljd {fn}n=1    som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x)dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right)dx

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt oss teckna  \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) . Vidare ger oss kravet på likformighet att:

 |f_n(x)-f(x)|< \epsilon  \mbox{ då } a \le x \ge b \mbox{ och } n \ge N

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

 \left| \int_{a}^{b} f_n(x)dx- \int_{a}^{b}f(x)dx \right| = \left| \int_{a}^{b} \left( f_n(x)-f(x) \right)dx \right| \le \left\{ \mbox{ triangelolikheten } \right\} \le
\le \int_{a}^{b} | f_n(x) -f(x)|dx \le \epsilon\left( a-b \right) \mbox{ då } n \ge N

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie[redigera | redigera wikitext]

Vi kan även betrakta en funktionsserie {sn}n=1    där s_n = \sum_{k=1}^{n}u_k(x) och s=\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x) som konvergerar likformigt då x ∈ I där I är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

 \int_{I} \left( \sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)\right)dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{I} u_k(x)dx

Bevis[redigera | redigera wikitext]

\sum_{k=1}^{\infty} \int_{I} u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}  \int_{I} u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty}  \int_{I} \sum_{k=1}^{n}  u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty}  \int_{I} s_n(x)dx = \mbox{ situationen som ovan } =
= \int_{I} \lim_{n \to \infty} s_n(x) dx = \int_{I} \left( \sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)\right)dx

Vilket skulle visas.