Likformig konvergens

Inom matematiken sägs en följd av funktioner f_i: ℝⁿ → ℝ^m konvergera likformigt mot en funktion f på en mängd I om följande villkor uppfylls:

• För varje ε > 0 så finns ett N ∈ ℕ så att för alla x ∈ I så gäller att n > N medför |f_n(x) - f(x)| < ε

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktivs konvergens), som lyder enlig följande:

• För varje x ∈ I och ε > 0 så finns ett N ∈ ℕ så att n > N medför |f_n(x) - f(x)| < ε

Exempel

1. Följden $f_n=\frac{\sin x}{n}$ konvergerar likformigt mot 0 på ℝ.
2. Följden $f_n=\frac{x}{n}$ konvergerar mot 0 för alla x i ℝ, men inte likformigt
3. Följden f_n = xⁿ konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen g på intervallet [0,1] där g är funktionen som har värdet 1 i punkten 1 och värdet 0 annars.

Egenskaper

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion f som är gränsvärdet av en följd f_i utifrån egenskaper hos funktionerna f_i. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. Som exempel 3 ovan visar behöver detta inte vara sant så följden inte konvergerar likformigt.

Ofta används supremumnormen för att avgöra likformig konvergens, då man först bestämmer det punktvisa gränsvärdet f av en funktionsföljd f_n och sedan kontrollerar att konvergensen är likformig genom att kontrollera gränsvärdet:

$\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_\infty = \lim_{n \to \infty} \sup_t |f_n(t) - f(t)|$

som ska vara 0 om konvergensen är likformig.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet

Om vi har en funktionsföljd {f_n}^∞_n=1    som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x)dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right)dx$

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis

Låt oss tekna $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$. Vidare ger oss kravet på likformighet att:

$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon \mbox{ då } a \le x \ge b \mbox{ och } n \ge N$

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

$| \int_{a}^{b} f_n(x)dx- \int_{a}^{b}f(x)dx|= |\int_{a}^{b} \left( f_n(x)-f(x) \right)dx | \le \left\{ \mbox{ triangelolikheten } \right\} \le$

$\le \int_{a}^{b} | f_n(x) -f(x)|dx \le \epsilon\left( a-b \right) \mbox{ då } n \ge N$

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie

Vi kan även betrakta en funktionsserie {s_n}^∞_n=1    där $s_n = \sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ och $s=\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$ som konvergerar likformigt då x ∈ I där I är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

$\int_{I} \left( \sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)\right)dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{I} u_k(x)dx$

Bevis

$\sum_{k=1}^{\infty} \int_{I} u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{I} u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty} \int_{I} \sum_{k=1}^{n} u_k(x)dx = \lim_{n \to \infty} \int_{I} s_n(x)dx = \mbox{ situationen som ovan } =$

$= \int_{I} \lim_{n \to \infty} s_n(x) dx = \int_{I} \left( \sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)\right)dx$

Vilket skulle visas.