Triangelolikheten

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Tre exempel som visar triangelolikheten.

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna men större än differensen mellan dessa sidor.

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum[redigera | redigera wikitext]

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \|

för alla

 \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V

Likhet gäller om och endast om \mathbf{x} och \mathbf{y} är parallella.

Reella tallinjen[redigera | redigera wikitext]

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

|x+y| \leq |x|+|y|

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet[redigera | redigera wikitext]

Inom komplex analys gäller olikheten

|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|

med likhet om

\arg(z_1)=\arg(z_2).

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

|z_1+z_2| \geq \Big||z_1|-|z_2|\Big|

med likhet om

\arg(z_1) = -\arg(z_2).

Metriska rum[redigera | redigera wikitext]

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken  d i ett metriskt rum  \mathcal{M} .

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p,q): \mathcal{M} \to \mathbb{R} kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats[redigera | redigera wikitext]

Ur triangelolikheten följer att

\Big| \| \mathbf{x} \| - \| \mathbf{y} \| \Big|\leq \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \|

och

|d(p, r) - d(r, q)| \le d(p, q)

vilket betyder att normen || \mathbf{a} || och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler[redigera | redigera wikitext]

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n |x_i|

för x_i \in \R och n \in \N.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

\sum_{i=1}^\infty |x_i| \in [0,\infty)

finns en triangelolikhet:

\left|\sum_{i=1}^\infty x_i\right| \leq \sum_{i=1}^\infty |x_i|.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

\left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx ,

om f(x)\, är Riemannintegrerbar.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.