Triangelolikheten

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Tre exempel som visar triangelolikheten.

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum[redigera | redigera wikitext]

I ett normerat vektorrum kan triangelolikheten skrivas

för alla

Likhet gäller om och endast om och är parallella.

Reella tallinjen[redigera | redigera wikitext]

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet[redigera | redigera wikitext]

Inom komplex analys gäller olikheten

med likhet om

.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

med likhet om

.

Metriska rum[redigera | redigera wikitext]

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken i ett metriskt rum .

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats[redigera | redigera wikitext]

Ur triangelolikheten följer att

och

vilket betyder att normen och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga[förtydliga].

Serier och integraler[redigera | redigera wikitext]

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

för och .

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

finns en triangelolikhet:

.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

,

om är Riemannintegrerbar.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.