Algebra över en kropp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En algebra över en kropp är ett vektorrum där det för varje par av element finns en unik produkt med egenskaperna:

för och .

sägs vara en associativ algebra om

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

.

kallas för algebra med neutralt element om det finns ett så att

.

Om har ett neutralt element är den unik. För om man antar att det finns två neutrala element, och , får man att

  • eftersom är ett neutralt element.
  • eftersom är ett neutralt element.

Alltså är .

En associativ algebra kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

  • för alla
  • om har ett neutralt element .

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Tredimensionellt euklidiskt rum[redigera | redigera wikitext]

Inre produktrummet med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet av alla kontinuerliga funktioner på intervallet är en Banachalgebra med operationen

för alla

har det neutrala elementet 1 och normen

.

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]