Algebra över en kropp

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En algebra över en kropp är ett vektorrum där det för varje par av element finns en unik produkt med egenskaperna:

för och .

sägs vara en associativ algebra om

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

.

kallas för algebra med neutralt element om det finns ett så att

.

Om har ett neutralt element är den unik. För om man antar att det finns två neutrala element, och , får man att

  • eftersom är ett neutralt element.
  • eftersom är ett neutralt element.

Alltså är .

En associativ algebra kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

  • för alla
  • om har ett neutralt element .

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Tredimensionellt euklidiskt rum[redigera | redigera wikitext]

Inre produktrummet med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet av alla kontinuerliga funktioner på intervallet är en Banachalgebra med operationen

för alla

har det neutrala elementet 1 och normen

.

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]