Kryssprodukt

Parallellogrammens area ger storleken av a×b

En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum. Kryssprodukten är en pseudovektor.

Kryssprodukten i R³

Två tredimensionella vektorer (a och b) som kryssmultipliceras ger upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b). Som alla andra tredimensionella vektorer har kryssprodukten en längd och en riktning; dess riktning är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b, samt ordnad efter högerhandsregeln och dess längd är bestämd av den uppspända areans storlek och beror därmed på vinkeln θ mellan a och b:

$\vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \vert =\vert \mathbf {a} \vert \,\vert \mathbf {b} \vert \,\sin \theta$$\vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \vert =\vert \mathbf {a} \vert \,\vert \mathbf {b} \vert \,\sin \theta$

vilket innebär att kryssprodukten av två parallella vektorer är noll.

Om de kartesiska komponenterna för två vektorer a och b är kända, går det att beräkna de motsvarande kartesiska komponenterna för kryssprodukten enligt

${\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix}}$

eller som en determinant:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {e} _{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {e} _{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {e} _{z}$$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {e} _{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {e} _{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {e} _{z}$

där

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)$$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)$

är standardbasen i ℝ³.

Fysikaliska tillämpningar

Kryssprodukten används för att beräkna vridmoment, magnetfält och andra vektorvärda storheter som är produkten av två fysikaliska storheter.

Generaliseringar

Begreppet kryssprodukt kan generaliseras till att gälla vektorer a och b i högre dimensioner. Kryssprodukten är då en kombination av en yttre produkt med den så kallade Hodges stjärna-operatorn.

Minnesregel

En enkel minnesregel för beräkning av kryssprodukt.

För att lätt komma ihåg vilken vektor som bildas vid kryssprodukten av x, y och z kan man tänka enligt följande: Skriv upp axlarna i bokstavsordning efter varandra två gånger. Kryssprodukten är då produkten av de två efterföljande beteckningarna.

Se även

• Vektoralgebra
• Cliffordalgebra
• Bivektor
• Pseudovektor
• Kvaternion
• Skalärprodukt
• Yttre produkt