Kryssprodukt

Parallellogrammens area ger storleken av a×b

En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum (över R³ och R⁷).

Den är antikommutativ (det vill säga, a × b = −(b × a)) och är distributiv över addition (det vill säga, a × (b + c) = a × b + a × c).

Kryssprodukten är en pseudovektor.

Kryssprodukten i R³

Två tredimensionella vektorer (a och b) som kryssmultipliceras ger upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b). Som alla andra tredimensionella vektorer har kryssprodukten en längd och en riktning; dess riktning är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b, samt ordnad efter högerhandsregeln och dess längd är bestämd av den uppspända areans storlek och beror därmed på vinkeln θ mellan a och b:

$\vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \vert =\vert \mathbf {a} \vert \,\vert \mathbf {b} \vert \,\sin \theta$

vilket innebär att kryssprodukten av två parallella vektorer är noll.

Om de kartesiska komponenterna för två vektorer a och b är kända, går det att beräkna de motsvarande kartesiska komponenterna för kryssprodukten enligt

${\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix}}$

eller som en determinant:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {e} _{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {e} _{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {e} _{z}$

där

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)$

är standardbasen i ℝ³.

Minnesregel

Skriv två rader där komponenterna till vektorerna

$\mathbf {a} =(a_{x},\ a_{y},\ a_{z})$

$\mathbf {b} =(b_{x},\ b_{y},\ b_{z})$

skrivs två gånger efter varandra på respektive rad. Bilda sedan kryssprodukten med hjälp av schemat

Fysikaliska tillämpningar

Kryssprodukten används för att beräkna vektorvärda storheter som är produkten av två vektorvärda fysikaliska storheter:

• Rörelsemängdmoment
• Vridmoment
• Lorentzkraft
• Magnetfält

Generaliseringar

Begreppet kryssprodukt kan generaliseras till att gälla vektorer a och b i högre dimensioner. Kryssprodukten är då en kombination av en yttre produkt med den så kallade Hodges stjärna-operatorn.

Se även

• Vektoralgebra
• Cliffordalgebra
• Bivektor
• Pseudovektor
• Kvaternion
• Skalärprodukt
• Yttre produkt