Parallellogrammens area ger storleken av
a ×
b En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum (över R 3 och R 7 ).
Den är antikommutativ (det vill säga, a × b = −(b × a )distributiv över addition (det vill säga, a × (b + c ) = a × b + a × c
Kryssprodukten är en pseudovektor .
Två tredimensionella vektorer (a och b ) som kryssmultipliceras ger upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b )[ 1] längd och en riktning ; dess riktning är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b , samt ordnad efter högerhandsregeln och dess längd är bestämd av den uppspända areans storlek och beror därmed på vinkeln θ mellan a och b :
|
a
×
b
|
=
|
a
|
|
b
|
sin
θ
{\displaystyle \vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \vert =\vert \mathbf {a} \vert \,\vert \mathbf {b} \vert \,\sin \theta }
vilket innebär att kryssprodukten av två parallella vektorer är noll.
Om de kartesiska komponenterna för två vektorer a och b är kända, går det att beräkna de motsvarande kartesiska komponenterna för kryssprodukten enligt
[
a
x
a
y
a
z
]
×
[
b
x
b
y
b
z
]
=
[
a
y
b
z
−
a
z
b
y
a
z
b
x
−
a
x
b
z
a
x
b
y
−
a
y
b
x
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix}}}
eller som en determinant :
a
×
b
=
|
e
x
e
y
e
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
e
x
+
(
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
e
y
+
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
e
z
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {e} _{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {e} _{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {e} _{z}}
där
e
x
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
y
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
z
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)}
är standardbasen i ℝ3 .
Beräkning av kryssprodukten med standardbasvektorer [ redigera | redigera wikitext ] En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna
i ,
j ,
k Standardbasvektorerna i , j och k satisfierar i ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem likheterna
i
×
j
=
k
j
×
k
=
i
k
×
i
=
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=\mathbf {j} \end{aligned}}}
vilket på grund av kryssproduktens antikommutativitet implicerar
j
×
i
=
−
k
k
×
j
=
−
i
i
×
k
=
−
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \\\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \end{aligned}}}
Kryssproduktens definition implicerar också att
i
×
i
=
j
×
j
=
k
×
k
=
0
{\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} }
nollvektorn ).Dessa likheter, tillsammans med kryssproduktens distributivitet och linjäritet , är tillräckliga för att bestämma kryssprodukten för alla par av vektorer a och b . Varje vektor kan definieras som summan av tre ortogonala komponenter parallella med standardbasvektorerna:
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
b
=
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}
Deras kryssprodukt a × b distributiviteten :
a
×
b
=
(
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
)
×
(
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
)
=
a
1
b
1
(
i
×
i
)
+
a
1
b
2
(
i
×
j
)
+
a
1
b
3
(
i
×
k
)
+
a
2
b
1
(
j
×
i
)
+
a
2
b
2
(
j
×
j
)
+
a
2
b
3
(
j
×
k
)
+
a
3
b
1
(
k
×
i
)
+
a
3
b
2
(
k
×
j
)
+
a
3
b
3
(
k
×
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}}}
Detta kan tolkas som en uppdelning av a × b i , j , eller k . Var och en av dessa nio kryssprodukter opererar på två vektorer som är enkla att hantera då de är inbördes antingen parallella eller ortogonala. Från denna uppdelning erhålls
a
×
b
=
−
a
1
b
1
0
+
a
1
b
2
k
−
a
1
b
3
j
−
a
2
b
1
k
−
a
2
b
2
0
+
a
2
b
3
i
+
a
3
b
1
j
−
a
3
b
2
i
−
a
3
b
3
0
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
i
+
(
a
3
b
1
−
a
1
b
3
)
j
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&-a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} -a_{1}b_{3}\mathbf {j} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {k} -a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {j} -a_{3}b_{2}\mathbf {i} -a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}}
Skriv två rader där komponenterna till vektorerna
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})}
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\ b_{2},\ b_{3})}
skrivs två gånger efter varandra på respektive rad. Bilda sedan kryssprodukten med hjälp av schemat
Kryssprodukten används för att beräkna vektorvärda storheter som är produkten av två vektorvärda fysikaliska storheter:
Begreppet kryssprodukt kan generaliseras till att gälla vektorer a och b i högre dimensioner. Kryssprodukten är då en kombination av en yttre produkt med den så kallade Hodges stjärna-operatorn .
^ Weisstein, Eric W. "Cross Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html
