Kryssprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Parallellogrammens area ger storleken av a×b

En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum. Kryssprodukten är en pseudovektor.

Kryssprodukten i R3[redigera | redigera wikitext]

Två tredimensionella vektorer (a och b) som kryssmultipliceras ger upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b). Som alla andra tredimensionella vektorer har kryssprodukten en längd och en riktning; dess riktning är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b, samt ordnad efter högerhandsregeln och dess längd är bestämd av den uppspända areans storlek och beror därmed på vinkeln θ mellan a och b:

\vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \vert = \vert \mathbf{a} \vert \, \vert \mathbf{b} \vert \, \sin \theta

vilket innebär att kryssprodukten av två parallella vektorer är noll.

Om de kartesiska komponenterna för två vektorer a och b är kända, går det att beräkna de motsvarande kartesiska komponenterna för kryssprodukten enligt


\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x
\end{bmatrix}

eller som en determinant:

\mathbf a \times \mathbf b =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}
= (a_yb_z - a_zb_y)\, \mathbf{e}_x + (a_zb_x - a_xb_z)\,\mathbf e_y  + (a_xb_y - a_yb_x)\,\mathbf e_z

där

\mathbf{e}_x = (1, 0, 0),\ \mathbf{e}_y = (0, 1, 0),\ \mathbf{e}_z = (0, 0, 1)

är standardbasen i ℝ3.

Fysikaliska tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Kryssprodukten används för att beräkna vridmoment, magnetfält och andra vektorvärda storheter som är produkten av två fysikaliska storheter.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Begreppet kryssprodukt kan generaliseras till att gälla vektorer a och b i högre dimensioner. Kryssprodukten är då en kombination av en yttre produkt med den så kallade Hodges stjärna-operatorn.

Minnesregel[redigera | redigera wikitext]

En enkel minnesregel för beräkning av kryssprodukt.

För att lätt komma ihåg vilken vektor som bildas vid kryssprodukten av x, y och z kan man tänka enligt följande: Skriv upp axlarna i bokstavsordning efter varandra två gånger. Kryssprodukten är då produkten av de två efterföljande beteckningarna.

Se även[redigera | redigera wikitext]