Kryssprodukt

Parallellogrammens area ger storleken av a×b

En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum. Kryssprodukten är en pseudovektor.

Kryssprodukten i R³

Två tredimensionella vektorer (a och b) som kryssmultipliceras ger upphov till en ny tredimensionell vektor (a × b). Som alla andra tredimensionella vektorer har kryssprodukten en längd och en riktning; dess riktning är vinkelrät mot det plan som spänns upp av de två vektorerna a och b, samt ordnad efter högerhandsregeln och dess längd är bestämd av den uppspända areans storlek och beror därmed på vinkeln θ mellan a och b.

$\vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \vert = \vert \mathbf{a} \vert \, \vert \mathbf{b} \vert \, \sin \theta.$

Detta medför att kryssprodukten av två parallella vektorer blir noll.

Om man känner till de kartesiska komponenterna för två vektorer a och b, så kan man beräkna de motsvarande kartesiska komponenterna för kryssprodukten på följande sätt:

$\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$

eller som en determinant:

$a \times b = \begin{vmatrix} \mathbf{e_x} & \mathbf{e_y} & \mathbf{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{vmatrix} = (a_yb_z - a_zb_y) \mathbf{e_x} + (a_zb_x - a_xb_z) \mathbf{e_y} + (a_xb_y - a_yb_x) \mathbf{e_z}.$

där e_x, e_y och e_z är standardbasen i ℝ³.

Fysikaliska tillämpningar

Kryssprodukten används för att beräkna vridmoment, magnetfält och andra vektorvärda storheter som är produkten av två fysikaliska vektorer.

Generaliseringar

Begreppet kryssprodukt kan generaliseras till att gälla vektorer a och b i högre dimensioner. Kryssprodukten är då en kombination av en yttre produkt med den så kallade Hodges stjärna-operatorn.

Minnesregel

En enkel minnesregel för beräkning av kryssprodukt.

För att lätt komma ihåg vilken vektor som bildas vid kryssprodukten av x, y och z kan man tänka enligt följande: Skriv upp axlarna i bokstavsordning efter varandra två gånger. Kryssprodukten är då produkten av de två efterföljande beteckningarna.

Se även

• Vektoralgebra
• Cliffordalgebra
• Bivektor
• Pseudovektor
• Kvaternion
• Skalärprodukt
• Yttre produkt