Matrisnorm

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet , då är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen. och är matriser i :

  • med likhet om och endast om
  • för alla

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer[redigera | redigera wikitext]

Om normer för och är givna (då är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

Om eller kan normen beräknas som:

, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)
, den största radsumman.

Om och kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen :

,

där är det hermiteska konjugatet till .

Elementvisa normer[redigera | redigera wikitext]

För matriser i :

Frobeniusnormen[redigera | redigera wikitext]

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

Där tr är matrisspåret och betecknar :s hermiteska konjugat.

P-normen[redigera | redigera wikitext]

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

Maximalnormen[redigera | redigera wikitext]

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

.